Il existe plusieurs systèmes de numération en technologie numérique dont les plus courants sont:
- Le système décimal ou base 10
- Le système binaire ou base 2
- Le système octal ou base 8
- Le système hexadécimal ou base 16
Base d'un système de numération
La base d'un système de numérisation est le nombre d'élément qu'utilise ce système.
Exemple:
- La base 2 utilise deux chiffres {0,1}
- La base 10 utilise deux chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- La base n utilise n chiffres qui vont de 0 à n-1: {0, 1, 2...n-1}
Représentation sous la forme polynomiale
Tout nombre "X" écrit en base "b" peut être décomposé en puissance de b.
Exemple: Soit le nombre X1: (anan-1...a0a-1a-2...a-n)b
Ce nombre peut être décomposé en puissance de b de la manière suivante:
X1 = anbn + an-1bn + ... + a0b0 + a-1b-1 + a2b2 + ... + a-nb-n
Partie entière
Partie décimale
Exemple2:
X2 = (1984,34)10 = 1x103+9x102+8x101+4x100+3x10-1+4x10-2
X3 = (3725,401)8 = 3x83+7x82+2x81+2x80+4x8-1+0x8-2+1x8-3
Soit: X= anan-1...a1a0
"a0" est le chiffre de rang zéro. On l'appelle aussi le chiffre le moins significatif.
"an" est le chiffre de rang "n" ou le chiffre le plus significatif.
Exemple:
Le nombre N = 4783910
"4" est de rang 4 ou de poids 104
"9" est de rang 0 ou de poids 100
"8" est de rang 2 ou de poids 102
Etude de quelques bases
Base 2 (Système de numération binaire)
C'et la base la plus utilisée en électronique numérique, elle comporte deux chiffres 0 et 1 appelé bits.
Le chiffre le plus significatif est appelé bits de poids le plus fort MSB (Most Significant Bit).
Le chiffre me moins significatif est appelé bit de poids le plus faible LSB (Least Significant Bit).
Soit le nombre N = (1MSB 0 1 1 0 1 1LSB)2
Base 8 (Système de numération octal)
Cette base utilise 8 chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Exemple N = (3473,5)8
Base 16 (Système de numération hexadécimal)
Cette base utilise 16 éléments qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Avec
|
A = 10 |
D = 13 |
|
B = 11 |
E = 14 |
|
C = 12 |
F = 15 |
Exemple:
N = (1F2)16
Conversion d'une base à une autre
Passage d'une base "b" différente de 10 à la base 10
Il s'agit simplement d'écrire le nombre à convertir sous la forme polynomiale dans sa base "b" puis d'effectuer les calculs pour obtenir la valeur en base 10.
Conversion binaire - décimale
Exemple 1:
Convertir le nombre X1=(1101)2
Résolution:
X1 = (1101)2 = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 8 + 4 + 0 + 1
X1 = (1101)2 = (13)10
Exemple 2:
Convertir le nombre X2=(1001,101)2
Résolution:
X2 = (1001,101)2 = 1x23 + 0x22 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 9 + 0,5 + 0,125
X2 = (1001,101)2 = (9,625)10
Conversion octale - décimale
Exemple 1:
Convertir X1 = (342)3
Résolution:
X1 = 3x82 + 4x81 + 2x80 = 192 + 32 + 2 = 226
X1 = (342)8 = (226)10
Exemple 2:
Convertir X2 = (745,05)8
Résolution:
X2 = 7x82 + 4x81 + 2x80 + 0x8-1 = 448 + 32 + 2 + 0 + 0,078125
X2 = (742,05)8 = (482,078125)10
Conversion hexadécimale - décimale
Exemple 1:
X1 = (1F2) ? ( )10
Exemple 2:
X2 = (1AOB,CD)16 ? ( )10
Passage du décimal à la base "b"
Le principe ici consiste à effectuer des divisions successives du nombre décimal à convertir par la base "b"
Exemple 1:
Convertir le nombre (22)10 = ( )2
Résolution:
On retient le résultat final et les restes qui doivent toujours être inférieurs à la base "b"
Conversion d'une base a une autre différente de la base 10
Première méthode
Elle consiste à faire un passage par la base 10 en suite quitter de la base 10 à la base recherchée.
Exemple: Convertir (1101)2 = (?)8
- Première opération:
(1101)2 = (13)10 - Deuxième opération:
(13)10 = (15)8
(1101)2 = (15)8
Deuxième méthode:
Elle consiste à regrouper les bits par bloc de 4 à partir de la droite en suite convertir la valeur de chaque bloc en hexadécimal (cas de la conversion binaire hexadécimal).
Le regroupement se fera par bloc de 3 bits lorsqu'il s'agira de la conversion octale.
Tableaux des équivalences:
|
Décimal |
Binaire |
Hexadécimal |
|
0 |
0000 |
0 |
|
1 |
0001 |
1 |
|
2 |
0010 |
2 |
|
3 |
0011 |
3 |
|
4 |
0100 |
4 |
|
5 |
0101 |
5 |
|
6 |
0110 |
6 |
|
7 |
0111 |
7 |
|
8 |
1000 |
8 |
|
9 |
1001 |
9 |
|
10 |
1010 |
A |
|
11 |
1011 |
B |
|
12 |
1100 |
C |
|
13 |
1101 |
D |
|
14 |
1110 |
E |
|
15 |
1111 |
F |
|
Décimal |
Binaire |
Octal |
|
0 |
000 |
0 |
|
1 |
001 |
1 |
|
2 |
010 |
2 |
|
3 |
011 |
3 |
|
4 |
100 |
4 |
|
5 |
101 |
5 |
|
6 |
110 |
6 |
|
7 |
111 |
7 |
Exercice 1:
Convertir en hexadécimal les nombres binaires suivants
Exercice 2:
Convertir en octal les nombres binaires suivants:
Conversion d'un nombre décimal ayant une partie décimale en binaire
Le principe de conversion de la partie entière ne change pas. La partie décimale se convertit par multiplication successive de cette dernière par la base "2". On conservera à chaque fois la parie entière du résultat obtenu qui doit toujours être inférieure à la base "2".
Exemples:
Convertir (13,25)10 = (?)2
(13)10 = (1101)2
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x = 1 1
(0,25)10 = (0,01)2
(13,25)10 = (1101,01)2
Convertir (27,625)10 = (?)2
(27)10 = 11011
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1
(0,625)10 = (101)2
(27,625)10 = (11011,101)2
Convertir (15,3)10 = (?)2
(15)10 = 1111
0,3 x 2 = 0,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8
0,8 x 2 = 1,6
(15,3)10 = 1111,01001
En binaire on peut compter de 0 → 2N-1
Les codes
Un nombre ou caractère peut se présenter dans plusieurs codes. Les codes les plus utilisé sont:
- Le code binaire pur
- Le code binaire réfléchi (code Gray)
- Le code DCB (Décimal Codé Binaire) ou BCD
- Le code ASCII (Americain Standard Code for Information Interchange)
Le code DCB
C'est un code dans lequel chaque chiffre décimal est représenté par son équivalent binaire sur 4 bits.
|
Tableau de conversion DCB |
|
|
Décimal |
DCB |
|
0 |
0000 |
|
1 |
0001 |
|
2 |
0010 |
|
3 |
0011 |
|
4 |
0100 |
|
5 |
0101 |
|
6 |
0110 |
|
7 |
0111 |
|
8 |
1000 |
|
9 |
1001 |
Exemple:
Donner l'équivalent des nombres suivants en DCB.
N1 = (345)10 = (?)DCB
N2 = (984)10 = (?)DCB
N1 = (345)10
345= 0011 0100 0101
N1 = (345)10 = (001101000101)DCB
N2 = (984)10
984 = 1001 1000 0100
N2 (984)10 = (1001 1000 0100)DCB
Pour convertir un nombre d'une base "b" différente de la base 10 au DCB ou inversement, il faut faire un passage par la base 10
Exemple:
Conversion Binaire DCB
N1 = (1111)2 = (?)DCB
N2 = (101111)2 = (?)DCB
N1 = (1111)2 = (15)10 = (0001 0101)DCB
N2 = (101111)2 = (47)10 = (0100 0111)DCB
Code binaire réfléchi (ou code Gray)
C'est un code qui permet d'éviter les erreurs de transition lors des changements d'état en binaire. Dans ce code lors du passage d'un état à un autre un seul changement de valeur.
|
Correspondance Binaire Pur - Binaire réfléchi |
||||||||
|
Décimal |
Binaire Pur |
Binaire réfléchi |
||||||
|
|
23 |
23 |
21 |
22 |
23 |
22 |
21 |
20 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Code ASCII
Le code utilisé par la majorité des ordinateurs pour reconnaître les caractères (lettres, chiffres, symboles) est le code ASCII, on l'appelle aussi code alpha numérique.
Le code ASCII à 7 bits permet de coder 27 = 128 caractères.
|
Caractères |
Code ASCII |
Equivalent |
|
|
Octal |
Hexadécimal |
||
|
1 |
011 0001 |
061 |
31 |
|
A |
100 0001 |
101 |
41 |
|
D |
100 0100 |
104 |
44 |
|
K |
100 1011 |
113 |
4B |
|
Blanc |
010 0000 |
040 |
20 |
|
Retour |
000 1101 |
015 |
0D |
Concours d'entrée aux grandes écoles
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale