Théorèmes et lois

Problématique de l'analyse des circuits

Les lois fondamentaux de l'analyse des circuits: Loi de Kirchhoff

Loi de Kirchhoff des mailles

La somme algébrique des tensions dans une maille est égale à zéro.

Loi de Kirchhoff des noeuds

I₂ + I₅ = I₁ + I₃ + I₄
La somme des courants qui entrent dans un noeud est égale à la somme de courant qui en ressort.

Analyse de circuit par les lois de Kirchhoff

On attribue à chaque maille un sens de parcourt de courant arbitraire. On compte le nombre de noeud (n=3). On écrit n-1 équation de noeud. Deux équations possibles.
Noeud A: i₁ = i₂ + i₃
noeud B: i₃ = i₄ + i₅
On compte le nombre de branche (b=5), on écrit b-n+1 équation de maille
↔ 5 - 3 + 1 = 3

Ce système se résout par les méthodes d'algèbre linéaire.
En électronique l'utilisation systématique des lois de Kirchhoff est lourde, en effet la complexité des chemins rencontrés rend parfois impossible l'analyse des circuits par les lois de Kirchhoff. Il est souvent préférable d'utiliser un certain nombre de théorème simplifiant considérablement les calculs de circuit.

Transformation série parallèle et parallèle série

Notion de générateur de tension et courant

Générateur de tension

• Générateur de tension idéale:

• Générateur de tension réelle:

Générateur de courant

• Générateur de courant idéal:

• Générateur de courant réel:

On montre que:

Transformation série parallèle et parallèle série

Diviseur de tension

Généralité

Diviseur de courant

Généralité

Théorème de Thevenin

Enoncé du théorème

Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sorties A B comme le montre la figure1 ci-dessus peut être remplacé par une source de tension f.e.m.E_th et de résistance interne f.e.m.R_th.
La f.e.m.E_th est égale à la tension à vide aux bornes du dipôle AB.
La résistance interne R_th est obtenue en résistance passive toutes les sources autonomes.
Rendre passive une source c'est court-circuiter toutes les sources de tension et ouvrir toutes les sources de courant.

Calcul de E_th

Calcul de R_th

Calculons R_Th

Exercice d'application

Calcul de E_th

Calcul de R_th

Le théorème de NORTON

Enoncé du théorème

Tout réseau linéaire actif présente des connexions de sortie A et B, comme le montre la figure3 peut être remplacée par une source de courant I_N en parallèle avec une résistance interne R_N. Le courant nominal I_N est égal au courant du court-circuit du dipôle AB.
La résistance interne est obtenue en rendant passive toutes les sources autonomes.

Calcul de I_N

Calcul de R_N

Théorème de superposition

Enoncé du théorème

Le théorème de superposition dit que l'intensité de courant dans une branche ou la tension aux bornes d'un dipôle appartenant à un circuit comportant 2 ou plusieurs sources autonomes ou indépendantes est égale à la somme algébrique des intensités ou des tensions que ferait passer séparément chaque source en rendant passive les autres sources.

Théorème de Kenelly : transformation étoile (Y) triangle (A) et triangle étoile

Méthode des mailles indépendantes

Lorsqu'un circuit comporte b branches et n noeuds, l'analyse systématique par les lois de Kirchhoff requièrent b-n+1 équations de maille et n-1 équations de noeud. Ce qui fait b, équations à b inconnues. On peut diminuer considérablement ce nombre d'équation en utilisant la méthode des mailles indépendante.
On choisit des mailles indépendantes (b-n+1). A chacun de ces mailles on affecte un courant de maille. On écrit alors la loi de Kirchhoff des mailles pour chacun de ces mailles.

Théorème de Millman

Analyse par les lois de Kirchhoff (en alternatif)

Loi de Kirchhoff des mailles

La somme algébrique des tensions dans une maille est égale à zéro.

La loi de Kirchhoff des noeuds

I₂ + I₅ = I₁ + I₃ + I₄
La somme des courants qui entrent dans un noeud est égale à la somme de courant qui en ressort.

On attribue à chaque maille un sens de parcourt de courant arbitraire. On compte le nombre de  noeud (n=2). On écrit n-1 équation de noeud. Deux équations possibles.
Noeud A: i₁ = i₂ + i₃
On compte le nombre de branche (b=3), et on écrit b-n+1 équation de maille

transformation série parallèle et parallèle série (en alternatif)

On montre que les deux schémas suivants sont équivalents.

Avec I=E/Z
On se propose de calculer la tension U_Z3

Diviseur de tension et de courant (en alternatif)

Diviseur de tension

Cas général

Diviseur de courant

Cas général

Théorème de Thevenin (en alternatif)

Enoncé du Théorème

Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sorties A B comme le montre la figure1 ci-dessus peut être remplacé par une source de tension E_th et de l'impédance interne Z_th.
La f.e.m E_th est égale à la tension à vide aux bornes du dipôle AB.
La résistance interne R_th est obtenue en résistance passive toutes les sources autonomes.
Rendre passive une source c'est court-circuiter toutes les sources de tension et ouvrir toutes les sources de courant.

Calcul de Z_Th

Théorème de Norton (en alternatif)

Enoncé du théorème

Tous réseau linéaire actif présentant des connexions de sortie A et B comme le montre la figire1 et figure 2. Peut être remplacé par une source de courant I_N branchée en parallèle avec une impédance Z_N.

On montre que les théorème de Thevenins et de Norton sont équivalents. Il suffit de faire une transformation série parallèle, parallèle série.

Calcul de I_N

Calcul de Z_N

Théorème de superposition

Enoncé du théorème

Le théorème de superposition stipule que l'intensité de courant dans une branche ou la tension aux bornes d'un dipôle appartenant à un circuit comportant 2 ou plusieurs sources autonomes ou indépendantes est égale à la somme algébrique des intensités ou des tensions que ferait passer séparément chaque source en rendant passive les autres sources.