Transformation de FOURRIER discrète

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Définition de la transformée de Fourrier des signaux numériques

 

x(k) → X(f)

X(f) est périodiques de période 1. En général c'est une fonction complexe de la variable f. f est une variable continue, f est une fréquence de moins l'infini à plus l'infini.
 La transformée de Fourrier de x(k) est notée:

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 Et la relation inverse s'écrit:

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Remarque:

Nous notons deux difficultés associées à cette définition.

  • La première difficulté est liée à la nature continue de la variable ƒ, ceci n'est pas commode dans un système de traitement numérique
  • Deuxième difficulté est liée au nombre infini d'échantillon, ce qui n'est pas le cas des signaux utilisés dans la réalité.

Proposition de solution: Il faut discrétiser la variable f et limiter le nombre d'échantillon.


Transformée de FOURRIER discrète

 

Description de la variable ƒ

Nous remplaçons la variable ƒ, par une autre variable ƒn.
Incrémentation : C'est une augmentation par pas ou par sont constant.
ƒn est appelé fréquence harmonique de la transformée de Fourrier discret comme X(ƒ) est période , il suffit d'utiliser une seule période. On peut diviser cette période en n incrémentations comme X(t) est périodique. Ce qui donne:

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Conséquence de la discrétisation

Compte tenu du changement de variable, la transformée de FOURRIER inverse s'écrit:

 
 

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Quelques propriétés de WNnk:

WNh+l = WNk+l=WNh-WNl (Séparabilité)
WNk+lw = WNk = WNk module N

Valeurs spatiales:

 
 

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Transformée de FOURRIER discrète des signaux périodiques de période N

 

En ne considérant que la période allant de 0 à N-1

 
 

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Transformée de FOURRIER à signaux réels : signaux à durée limitée

 
 

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Remarque:

Si N est impair on prendra la valeur entière de N/2. X(n) est périodique de période N.

Démonstration:

 
 

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Exercice 1:

Qu'elle est la transformée de FOURRIER du signal suivant:

 
 

x(k) = akε(k) avec a : réel
discutez de l'existence de la transformée en fonction de a.

Exercice 2:

Qu'elle est le signal donc la transformée de FOURRIER est x(f-f0) ou f0 est une constante.

 
 
 

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