Transformation en Z

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Transformation directe

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La transformation en Z est une opération bilatérale car la sommation passe de moins l'infini à plus l'infini. Pour un signal causal on définit la transformation unilatérale suivante.

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Région de convergence

L'ensemble des Z pour lequel la série ci-dessous est convergente est appelé région de convergence. Pour trouver cette région de convergence on peut utiliser le critère de CAUCHY sur la convergence d'une série de puissance.

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Pour X1(z) avec un changement de variable l=-k. On peut montrer de la même manière que X1(z) converge lorsque |z| est inférieure ou égale à Rn+ avec

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Transformation inverse

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On peut calculer la transformée en z inverse de plusieurs manières:

  • Calcul des résidus
  • Développement en série de puissance
  • Développement par division

Utilisation du théorème de CAUCHY.

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Relation entre la transformée en z et la transformée de FOURRIER

D'après la définition de la transformée en z nous avons:

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La transformée de FOURRIER d'un signal est la transformée en z de ce signal évalué sur un cercle de rayon unité (rayon=1).
En conclusion la transformée en z est une généralisation de la transformée de FOURRIER.

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Exercice d'application:

Déterminez la transformée en z et la région de convergence pour les signaux suivants:

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