Majorant - minorant - maximum et minimum d'un ensemble

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Soit A un sous ensemble non vide de R.

  • On dit qu'un nombre réel M est un majorant de A si M est supérieur ou égal à tous les éléments de A. Un ensemble qui admet un majorant est dit majoré.
  • On dit qu'un réel m est un minorant de A si M est inférieur ou égale à tous les élément de A. Un ensemble qui admet un minorant est dit minoré.

Exemple:

Z = {..., -1, 0, 1, 2...}
Z, Q, R ne sont ni minorés ni majorés.
N = {0, 1, 2, 3...}

L'ensemble R n'est pas majoré mais 0, -1, -2, -II, etc. sont des minorants de N.

Un sous ensemble majoré (respectivement minoré) de R admet une infinité de majorant (respectivement minorant). En effet si M est majorant (respectivement minorant) tous nombre supérieur à M (respectivement < M) est aussi un majorant (respectivement minorant).


Soit A un sous ensemble non vide de R.

  • Lorsqu'il existe le plus grand élément de A, est appelé maximum de A
  • Lorsqu'il existe le plus petit élément de A est appelé minimum de A

Exemple:

N = {0, 1, 2, 3...}
Minorant: 0; 1-; -2; -II; etc.
Le plus petit élément de N est 0.
Le plus minimum de N est 0.
Toute partie finie de R admet un maximum et un minimum.
Exemple: Le segment [0; 5] a pour minimum 0 et de  maximum 5.

Calcul approché

Encadrement des réels

Encadrement d'un réel par des nombres décimaux

Soit x=7/3; 2,33 ← 7/3 ← 2,34 à 10-2 ou 1/100 près. 2,33 est la valeur approchée de x=7/3 à 10-2 par défaut. 2,34 est la valeur approchée de x=7/3 à 10-2 par excès.

Incertitude

Soit x et y deux nombres réels E>0 un réel strictement positif. y est une valeur approchée de x à E près signifie que |x-y|←E. Le nombre réel E est appelé incertitude de cette valeur approchée.
|x-y| est appelée distance de x à y.

 

00

Valeur approchée d'une somme

Si x0 est une valeur approchée d'un réel x avec pour incertitude Þ et y0 une valeur approchée d'un réel y avec pour incertitude ß. x0+y0 est la valeur approchée de x+y avec une incertitude égale à Þ+ß.
Exemple: Soient les encadrements

 

01
Calcul de la valeur approchée:
x0 = (8,032+8,046)/2 = 8,039 et Þ= (8,046-8,032)/2
Þ=0,007
y0 = (5,24+5,50)/2 = 5,37 et ß= (5,24+5,50)/2
ß=0,13
La somme x0+y0 a pour incertitude Þ+ß=0,13+0,004=0,137

 

 


Fractions

 

Somme

a, b, c, d sont des nombres, b et d ne sont pas nuls.

 
 

02

Multiplication

 
 

03

Quotient

 
 

04