Equation et inéquation du premier degré dans IR

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Equation du 1er degré

Forme ax+b=0 (a appartient à R et b appartient à R) x est l'inconnue.

  • Premier cas:
    a≠0, ax + b = 0
    ↔ x = -b/a
    ↔ S = {-b/a}
  • Deuxième cas:
    a=0
    • Si b=0 nous avons a=0. Vraie, d'où S=R
    • Si b≠0, ax + b = 0 or b≠0 contradiction d'où S=Ø

Exemples:

Résoudre dans R chacune des équations:

-2x + 1 = 0
↔ +2x = +1
↔ x=½
↔ S = {½}

3 + x = 2x - 1
↔ 3 + 1 = 2x - x
↔ 4 = x
↔ S = {4}

Exercice:

Discute et résout dans R les équations suivantes où m est un paramètre réel:

  • mx - 3 = 0
    • Si m ≠0, on a: x=3/m
      S = {3/m}
    • Si m=0, l'équation devient: -3=0 faux
      S = Ø
  • -2x + m - 1 = 0.
    Cette équation est sous la forme ax+b=0 où a=-2 et b=m-1
    On a: -2x=-m+1
    ↔ x=-(-m+1)/2
    ↔ x= (m-1)/2
    ↔ S = {(m-1)/2}
  • m(x + 3) = x + m + 2
    ↔ mx + 3m = x + m + 2
    ↔ mx - x = m + 2 - 3m
    ↔ (m - 1)x = 2 - 2m
    ↔ (m - 1)x = -2(m - 1)
    ↔ (m - 1)x + 2(m - 1) = 0
    ax+b=0 ; a=m-1 et b=2(m-1)
    Discutions:
    • Si a = m - = 0 ↔ m = 1
      Alors b = 2(m - 1) = 2(1 - 1) = 0
      L'équation originale devient 0x + 0 = 0 Vrai d'où S=R
    • Si m≠1, b≠0 et a≠0
      m≠1, b≠0 et a≠0 d'où x = -b/a
      x = -2(m - 1)/(m-1)
      ↔ x = -2
      ↔ S = {-2}