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Equations du second degré

Polynôme du second degré

Un polynôme du second degré est toute application f:R→R qui à toute valeur de x associe f(x)=ax²+bx+c avec a appartenant à R*, b appartenant à R; c appartenant à R.

Mise sous forme canonique d'un polynôme du second degré

Equation du second degré

On appelle équation du second degré, toute expression de la forme ax²+bx+c=0 avec a appartenant à IR*; b appartenant à R; c appartenant à R

Résolution

La résolution de ce type d'équation est dépendante du discriminant D=b²-4ac

Exercice: Résolution d'une équation bicarrée.
x⁴ - 4x² - 45 = 0
↔ (x²)² - 4x² - 45 = 0
Posons X = x²
X² - 4X - 45 = 0
D = (-4)² - 4(-45) = 196 = 14²
X₁ = ½(4-14) = -5 ; X₂ = ½(4+14) = 9
Comme x² = X
↔ x² = -5 (impossible)
↔ x² = 9 équivaut à x = 3 ; x = -3
S = {-3 ; 3}

Signe du polynôme du second degré

Soit le polynôme f(x)=ax²+bx+c avec a différent de 0

Théorème:

Le polynôme du second degré ax²+bx+c avec Δ>0 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a à l'intérieur.

Somme et produit des racines

Recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit

 

 

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Résolution de l'équation paramétrique du second degré

Discutez suivant les valeurs du paramètre m l'existence, le signe des racines de l'équation suivante: (m+4)x²+(2m+5)x+m-2=0

 

 

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Résolution des systèmes linéaires dans IR² et IR³

Résolution des systèmes linéaires dans R²

Ce sont les systèmes d'équation de la forme:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0
Comme méthode de résolution, on distingue:

Exemple:

Résoudre dans R₂ le système d'équation suivant
3x + 4y = 2
2x + 5y = 1

Méthode par substitution

3x = 2 - 4y ↔ x = (2-4y)/3
2(2-4y)/3 + 5y = 1
↔ 4 - 8y + 15y = 3
↔ 7y = -1
↔ y = -1/7
S = {(6/7 ; -1/7)}

Par comparaison

Méthode du déterminant ou de CRAMER

Résolution des systèmes dans R³

Ce sont des systèmes de la forme

Pour résoudre ce type de système, on distingue comme méthode:

Méthode par substitution

Exercice 1:

Résoudre dans R³ le système d'équation suivant:

Exercice 2:

Résoudre dans R³ le système d'équation suivant:

Méthode du pivot de GAUSS

Il est question dans cette méthode d'éliminer d'abord l'inconnu x par combinaison dans (E₂) et (E₃). (E₁) étant le pivot. En suite éliminer l'inconnu y dans la dernière équation obtenue, ce qui permet de trouver l'inconnu z. Le système "triangulaire"

Ainsi obtenu permet de trouver les autres inconnues en commençant par la dernière équation puis remonter progressivement jusqu'à la première.

Exemple:

Résoudre dans R³ le système d'équation:

 

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Inéquation du second degré

Une équation du second degré est une expression de la forme:

Résolutions:

Exercice 1:

Résoudre dans R l'inéquation:

Exercice 2:

Résoudre dans R l'inéquation suivante:

 

 

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La programmation linéaire

La programmation linéaire est un outil mathématique donc le but est de rechercher la combinaison optimale c'est-à-dire celle qui donne le maximum de satisfaction au moins du coût.
La demande est la suivante:

Exemple:

Une entreprise fabrique des fauteuils et des chaises à l'aide de 3 machines A, B, C. Pour fabriquer les machines A et B pendant 1 heure, la machine C pendant 3 heures. Pour fabriquer une chaise, on utilise les machines A et C pendant 2 heures. Mais les machines ne sont ne sont disponibles que 60 heures pour A, 90 heures pour B, 150 heures pour C. Un fauteuil génère un bénéfice de 10.000^F et une chaise de 5.000^F. Combien faut-il fabriquer de fauteuil dans ces conditions, un bénéfice maximum.

Solution:

1) Choix des inconnues
x → fauteuils ; y → chaises
Soit x le nombre de fauteuil et y le nombre de chaise.

2) Mise en équation de l'information du texte

Machines	Fauteuil	Chaises
A	x	y inférieur ou égale à 60
B	x	2y inférieur ou égale à 90
C	3x	y inférieur ou égale à 150

3) Résolution du problème mathématique
(D₁): x+y=60

x	0	60
y	60	0

(D₂): x+2y=90

x	0	90
y	45	0

(D₃): 3x+y=150

x	0	50
y	150	0