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Séries

Série numérique

 

Soit (Un)n une suite numérique et (Sn)n la suite des sommes partielles de (Un)n
S1 = U
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
Sp = U1 + U2 + ... + Up

16

Convergence d'une série

 
 

17

Quelques critères de convergence

 

Condition nécessaire de convergence

 
 

18

Critère suffisant de convergence

 

Critère de Alembert

 

19

Exemple:

Donnez la nature de la série

 

20
La série converge.

 

Critère de Cauchy

 
 

21

Exemple:

Donnez la nature de la série

 

22

Convergence d'une série (Sn)n de Cauchy

 
 

23
(Sn)n st dite série de Cauchy, elle est convergente.

 

Critère de convergence de Leibniz

 

On appelle série alternée, une série de la forme U1-U2+U3+U4-U5-U6+...+(-1)n-1Un+... (E) où les Ui sont tous positifs.
Alors le critère de Leibniz:

 
 

24
Exemple: Etudiez la convergence de la série:
1/2 - 2/(22+1) + 3/(32+1) - 4/(42+1) + ...

 

Autres propriétés

Critère de comparaison

 
 

25

Convergence absolue / Semi convergence

 
 

26

Combinaisons de série

 
 

27

Exercice:

  1. Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de x, la série S(x) est convergente.
    S(x) = 1 + e-x + e-2x + e-3x
    S(x)=limSk(x)
  2. Calculez la somme de la série 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...
 

28


Séries de fonctions

 

On a appelle série de fonctions, une série de la forme f0(x) +f1(x) +f2(x) +...+fx(x) +.... où les f(x) sont des fonctions continues sur un domaine D.

 

Domaine de convergence

 

L'ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la série f0(x) +f1(x) +f2(x) +...+fx(x) +.... converge est appelé domaine de convergence de la série.

 

Convergence uniforme

 

Dans la suite on considère que

 
 

29
Nous allons définir la notion de convergence uniforme (a) différente de la convergence simple (b) avec b→b

 

Définition

 

Une série de fonction simplement convergente est dite uniformément convergente sur un domaine D si

 
 

30
Il existe un autre entier suffisant.

 

Critère de convergence de Weierstrass

31

 

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