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Calcul d'intégrale

Index de l'article

Fonction primitive

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
On appelle primitive de f sur [a, b] une fonction F(ƒ) telle que dF(ƒ)(x)/dx=ƒ(x)

Propriété:

Soit f continue sur [a, b], alors deux primitives de f notées F1 et F2 sont telles que F1(x) et F2(x) = constante quelque soit x appartenant à [a,b]. Géométriquement, si y=F1(x) et Z=F2(x) sont deux primitives de f sur [a, b] de courbes respective C'1 te C2 alors les tangentes en x0 à C1 et à C2 sont parallèles.

Corollaire

Si ƒ est continue sur [a, b] alors f admet une infinité de primitive sur [a, b].

 


Notion d'intégrale définit

Soit f une fonction sur [a, b] et F une primitive de f sur [a, b], alors l'intégrale définie de ƒ(x) sur [a, b] est le réel

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Propriétés

On suppose f continue sur [a, b]

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Limite d'une somme de Riemann

Approximation de Riemann

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et Cƒ sa courbe représentative sur un R.O.N (x, o, y). Nous nous proposons de calculer l'aire du trapèze curviligne limité par Cƒ, l'axe ox et deux parallèles (D1) et (D2) d'équation respectives x=a et a=b

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Si A est l'aire du trapèze curviligne aABb on peut approcher la valeur de S, somme des n boucles subdivisent aABb. Chaque baud verticale est considérée comme rectangle élémentaire de base xi+1-xi et de hauteur ƒ(xi).
Chaque bande élémentaire a donc une surface élémentaire. La surface de la ligne en escalier

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Théorème de la moyenne

Théorème

Si f est contenue dans un intervalle [a, b], alors:

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Exercice:

  1. Démontrez le théorème de la moyenne à l'aide du théorème des accroissements finis.
  2. L'intensité d'un courant alternatif a pour expression I=ImaxSin360t/T. Calculez la valeur moyenne de carré de l'intensité du courant pendant la période T. Calculez ainsi ma valeur efficace du courant I.

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