Rappels mathématiques: notion d'analyse vectorielle

Notion de champ

Un champ est une application de Rⁿ⟶Rⁿ telle que à tout point de l'espace de dimension m on associe u vecteur de dimension n.
Exemple de champs classiques:

Opération d'analyse vectorielle

Ces opérations ne sont définies qu'en dimension 3

Le gradient

Soit Þ un champ scalaire de R³⟶R, le gradient est une application de l'espace des champs scalaires vers l'espace des champs scalaires vers l'espace des champs vectoriels.

Divergence

Dans cette relation V est un volume fermé et S la surface qui entoure le volume. On peut remarquer que la divergence n'est rien d'autre qu'un sortant d'un volume infinitésimal.

Le champ rotationnel

Le champ rotationnel est une application de l'ensemble des champs vectoriels vers lui-même.
La définition du rotationnel se fait composant par composant c'est-à-dire dans une direction donnée. Si cette direction est le vecteur orienté normal sur A la surface S orientée est donnée par cette relation:

Le rotationnel n'est rien d'autre que la circulation au tour d'une courbe fermée sur un point.

Le Laplacien scalaire

Le Laplacien scalaire est une application de l'ensemble des champs scalaires vers lui-même. Si V est un potentiel, le Laplacien de V se note:

Le Laplacien vectoriel

Le Laplacien vectoriel est une application de l'ensemble des champs vectoriels vers lui-même. Si A est un champ vectoriel: