L'ensemble IN des entiers naturels

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Ecriture des nombres en lettre

Pour savoir écrire les nombres en lettre, il faudrait au moins savoir écrire de 0 à 9 en toute lettre.

0=zéro	5=cinq
1=un	6=six
2=deux	7=sept
3=trois	8=huit
4=quatre	9=neuf

Exemple:

Ecrivez en lettre les nombres suivants:
2.000=deux mille
3.016=trois mille seize
98=quatre-vingts dix huit
280=deux cents quatre-vingts
206=deux cents six
5.300=cinq mille trois cents

Mille et quatre ne prennent jamais un s lorsqu'ils sont au pluriel, cent et vingt prennent un s lorsqu'ils se retrouvent au pluriel à la fin de l'écriture d'un nombre en lettre.

Exemple:

80=quatre-vingts
300=trois cents

 

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Numération position

A partir d'un nombre donné, il est parfois important de savoir quelles sont les unités.
Les dizaines
Les centaines
etc.
Pour cela il faut décomposer les nombres

Exemples

234 =	200	+	30	+	4
	centaines		dizaine		unités

4.095 =	4.000	+	0	+	90	+	5
	milliers		centaines		dizaines		unités

59 756 = 59 000 + 700 + 50 + 6
678 685 = 678 000 + 600 + 80 + 5
78 655 718 = 780 000 000 + 655 000 + 700 + 10 + 8

Un ensemble est un groupe ou une collection d'objets distinct appelés élément.
On notera un ensemble par une lettre majuscule et un élément par une lettre minuscule.

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Ecriture d'un ensemble

Nous allons toujours écrire les ensembles

Extension:

Ecrire un ensemble en extension signifie que nous allons amener ces éléments entre deux accolades en les séparant les uns des autres par des virgules.

Exemple:

A= {1, 2, 3, 4}

Un ensemble qui n'a pas d'élément est appelé ensemble violé
On le note:

• Un ressemble qui a un seul élément s'appelle un singleton: A= {1}
• Un ensemble qui a deux éléments s'appelle une paire: A = {23}
• Dans l'écriture en extension d'un ensemble, la position des éléments entre les deux accolades n'a pas d'importance.
  Exemple: A = {2,3} = {3,2}
• Dans l'écriture des éléments d'un ensemble à extension, on écrit une seule fois un élément.
  Exemple: A = { 1 , 3 , 2 , 3 , 4 , 1 , 5 } = { 1 , 3 , 2 , 4 , 5 }

Exercice d'application

Soit B un ensemble des chiffres puis le nombre 420 105 714 576
écrivez l'ensemble B en extension

Solution:

B = {4, 2, 0, 1, 5, 7, 8}

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Appartenance nom appartenance

Soit B un ensemble défini en extension par B = {1, 2, 3}
1 appartient à l'ensemble B, on note 1=B
5 n'appartient pas à B on note 5¢B
Exercice:
Ecrire les ensembles B, ses nombres entiers naturels plus grands que 14 et plus petit que 24 en extension.
{ 11 , 12 , 13 , 20 , 22 , 29 , 28 , 17 , 18 , 19 }
L'ensemble des nombres entiers naturels est notre grand N on ne peut pas écrire en extension tout ses éléments
N = {0, 1, 2, 3, 4, ........}

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Dénombrement

Dénombrer = compter

Activité:

Combien y'a-t-il de nombre entiers naturels?

• de 0 à 5
• de 1 à 5

Solution:

• De 0 à 5 il y'a 6 nombres entiers naturels
• De 1 à 5 il y 'a 5 nombres entiers naturels

 

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Soit petit n et N

• Le nombre de 0 à n est égal à 0 ; n + 1
• Le nombre de 1 à n est égal à n

Activité:

Combien y'a-t-il de nombres entiers naturels entre 23 à 32.

Solution:

De 23 à 52 il y'a 30 nombres entiers naturels, c'est-à-dire 52 moins 28 plus 1 au résultat qu'on trouve.

Doit n et N plus grand que n. le nombre de n à N est égale à n et N+1 au résultat trouvé.

Exercice d'application:

Combien y'a t'il de nombres entiers naturels consécutifs de 23 à 45.

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Multiple d'un nombre entier naturel

Multiplier un nombre entier naturel

Quelques multiples de 9:
9, 6, 12, 18 ....
9 = 3 x 3
6 = 3 x 2
12 = 3 x 4
18 = 3 x 6
Un nombre entier naturel est un multiple de 3 si la division de se nombre par 3 nous donne un nombre entier naturel.
On ne peut pas faire la liste de tous les multiples d'un nombre entier naturel.
Chaque nombre entier naturel est un multiple de lui-même.
Zéro est multiple de chaque nombre entier naturel.

Nombres pairs nombres impairs

On appelle nombre pair tout nombre qui est multiple de 8.
Exemple:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ...
Les nombres qui ne sont pas pairs s'appellent nombres impairs.
Exemple:
1, 3, 5, 9, 11, 13 ....
Exercice1:
Ecrire l'ensemble A de nombres pairs plus grand que 15 et plus petit que 24.
Solution:
A = {16, 18, 20, 22}
Exercice2:
Ecrire l'ensemble des nombres impairs plus grands que 22 et plus petit que 33.
Solution:
B = {23, 25, 27, 29, 31}

 

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Le diviseur d'un nombre entier naturel

Vocabulaire

12 est un multiple de 3, on dit encore que 12 est divisible par 3.

Caractère de divisibilité

Chaque nombre entier naturel présente certaines caractéristiques qui nous permettent de déterminer ses diviseurs. Un nombre entier naturel est divisible par 10, 100, 1000 lorsqu'il se termine par 0, 00 ou 000 successivement.

Caractère de divisibilité par 2

Un nombre entier naturel est divisible par 2 lorsqu'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Caractère de divisibilité par 3

Un nombre entier naturel est divisible par 3 lorsque la somme de ces chiffres est multiple de 3.
Exemple:
50 est divisible par 3

Caractère de divisibilité par 5

Un nombre entier naturel est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5.

Caractère de divisibilité par 9

Un nombre entier naturel est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple:
599 est divisible par 9; car 9+9+9=27; 27 est un multiple de 9.

 

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Diviseur d'un nombre entier naturel

Lorsqu'on dit que 27 est multiple de 9, cela signifie qu'on peut trouver un nombre entier naturel tel que:
27 = 3 fois cet entier naturel
27 est un multiple de 9 car 27=3x9. On dit alors que 3 et 9 sont des diviseurs de 27
L'entier naturel ne divise aucun nombre entier naturel.
Un nombre entier naturel ne peut avoir plusieurs diviseurs pouvant former un ensemble, on peut écrire en extension.