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  • Les inéquations (Mathématique)

    Rappel: < : plus petit que > : plus grand que 2(x - 1) < 2x - 1 Une inéquation a deux membres, le membre de gauche et le membre de droite. Ces deux membres sont séparés par un signe d'inégalité. 5 + 7 < 15 12 < 15 5 + 7 + 2 < 15 + 2 14 < 17 ax + b < ax + c (ax + b) + d < (ax + c) + d Si d > 0 Si on ajoute un même nombre positif aux deux membres d'une inégalité, l'inégalité ne change pas de sens (5 + 7) -2 < 15 - 2 10 < 13 Si on ajoute un nombre négatif au deux membres d'une inégalité le sens de...

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  • Les compléments circonstanciels (Français)

    Grammaire: Le complément circonstanciel est un constituant du groupe verbal. Il est le plus souvent introduit par une préposition. Il peut être déplacé dans la phrase. Le complément circonstanciel exprime: Le lieu, le temps, la cause, le matière, la conséquence. Exemple:J'étais au marché. Le complément circonstanciel est exprimé à l'aide d'un groupe nominal (le matin), à l'aide d'un adverbe (maintenant, hier, demain), une proposition subordonnée (pendant que, après que, dès que, lorsque)....

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  • La diffusion du fer Africain et ses conséquences (Histoire)

    Généralités Il est difficile de savoir quelle région de l'Afrique a pour la première fois travaillée les métaux tels que le cuivre, le bronze et surtout le fer. Pour certains chercheurs, c'est en Afrique de l'Ouest à partir de Méroé que les techniques de transformation du fer se sont rependues vers le lac Tchad. Certains pensent que c'est depuis l'Afrique du Nord les anciens berbères au cours de leur voyage à travers le Sahara et toute l'Afrique occidentale. Pour certains c'est de minière...

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  • Végétation, sol et faune du Cameroun (Géographie)

    Le Cameroun est caractérisé par la diversité de sol de végétation et de faune.   Végétation et sols La végétation Camerounaise est le condensé de celle de l'Afrique intertropicale. On a la forêt dense humide et méridionale (Sud). Une savane arborée au centre (Dans l'Adamaoua). La steppe dans le Nord, la forêt et la prairie des montagnes. Les sols sont aussi variés. La zone équatoriale La végétation La forêt dense humide. Elle caractérise la région équatoriale. C'est une forêt primaire verte aux...

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Le courant alternatif monophasé

Index de l'article

Complément de mathématique

Les nombres complexes

Insuffisance de IR

Dans R on ne peut pas trouver la racine carrée d'un nombre négatif, il existe donc un ensemble plus grand que R appelé ensemble des nombres complexes noté C qui permet d'extraire des racines des nombres négatifs. j est appelé opérateur complexe.

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La propriété importante des nombres complexes:

  • j2 = -1
  • j3 = j2 x j = -j
  • j4 = j2 x j2 = -1(-1) = 1

Définition des nombres complexes

Il existe 5 façons de représenter un nombre complexe mais on étudiera que 3 dans ce cours.

La forme algébrique

Quelque soit z appartenant à C; z=a+jb (a, b) appartient à R2.

  • a: partie réelle
  • b: partie imaginaire

La forme trigonométrique

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La forme polaire

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Quelques propriétés

Soient z et z' deux nombres complexes z=a+jb et z'=a'+jb'

  • z = 0 si et seulement si a = b = 0
  • z + z' = a + jb + a' + jb'
    =a + a' + j(b + b')
    = A + jB avec A = a+ a' et B = b + b'
  • z - z' = a + jb - (a' + jb')
    = a - a' + j(b - b')
    = A + jB avec A = a - a' et B = b - b'
  • z.z' = (a + jb)(a' + jb')
    = aa' + jab' + ja'b + j2bb'
    = aa' - bb' + j(ab' + a'b)
    = A + jB avec A = aa' - bb' et B = ab' + a'b
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  • 73
  • z = z' ↔ a = a' et b = b'

Conjugué d'un nombre complexe

On appelle conjugué d'un nombre complexe de coordonnée a+jb le nombre complexe z' tel que:

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Exemple

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Propriétés

Soient Z = a +jb et Z' = a' + jb'

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Quelques formules trigonométriques

Propriétés

  • Cos(-x) = Cosx
    Sin(-x) = Sinx
  • Cos2x + Sin2x = 1
  • tgx = Sinx/Cosx cotgx = Cosx/Sinx

Formules de transformations

  • Cos(a+b) = CosaCosb - SinaSinb
  • Cos(a-b) = CosaCosb + SinaSinb
  • Sin(a+b) = SinaCosb + SinbCosa
  • Sin(a-b) = SinaCosb - SinbCosa
  • tg(a+b) = (tga+tgb)/(1-tga.tgb)
  • tg(a-b) = (tga-tgb)/(1+tga.tgb)
  • Cosp + Cosq = 2Cos(p/2+q/2)Cos(p/2-q/2)
  • Cosp - Cosq = -2sin(p/2 + q/2)Sin(p/2 - q/2)
  • Sin + Sinq = 2Sin(p/2 + q/2)Cos(p/2-q/2)
  • Sinp - sinq = 2sin(p/2-q/2)Cos(p/2+q/2)