Equation du 1er degré
Forme ax+b=0 (a appartient à R et b appartient à R) x est l'inconnue.
- Premier cas:
a≠0, ax + b = 0
↔ x = -b/a
↔ S = {-b/a} - Deuxième cas:
a=0- Si b=0 nous avons a=0. Vraie, d'où S=R
- Si b≠0, ax + b = 0 or b≠0 contradiction d'où S=Ø
Exemples:
Résoudre dans R chacune des équations:
|
-2x + 1 = 0 |
3 + x = 2x - 1 |
Exercice:
Discute et résout dans R les équations suivantes où m est un paramètre réel:
- mx - 3 = 0
- Si m ≠0, on a: x=3/m
S = {3/m} - Si m=0, l'équation devient: -3=0 faux
S = Ø
- Si m ≠0, on a: x=3/m
- -2x + m - 1 = 0.
Cette équation est sous la forme ax+b=0 où a=-2 et b=m-1
On a: -2x=-m+1
↔ x=-(-m+1)/2
↔ x= (m-1)/2
↔ S = {(m-1)/2} - m(x + 3) = x + m + 2
↔ mx + 3m = x + m + 2
↔ mx - x = m + 2 - 3m
↔ (m - 1)x = 2 - 2m
↔ (m - 1)x = -2(m - 1)
↔ (m - 1)x + 2(m - 1) = 0
ax+b=0 ; a=m-1 et b=2(m-1)
Discutions:- Si a = m - = 0 ↔ m = 1
Alors b = 2(m - 1) = 2(1 - 1) = 0
L'équation originale devient 0x + 0 = 0 Vrai d'où S=R - Si m≠1, b≠0 et a≠0
m≠1, b≠0 et a≠0 d'où x = -b/a
x = -2(m - 1)/(m-1)
↔ x = -2
↔ S = {-2}
- Si a = m - = 0 ↔ m = 1
Système d'équation linéaire à deux inconnues
On appelle système de 2 équations linéaires à 2 inconnues toutes écriture pouvant se ramener sur la forme
ax+by=c
a'x+b'y=c'
a, b, c, a', b', c' réels donnés x et y sont les inconnues.
Exercice:
Résolution:
On appelle déterminant principe du système (S) le réel noté:
Un système (S) est dit système de CRAMMER si son déterminant principal est différent de zéro.
D1=-1 différent de zéro D1 est un système de CRAMMER.
Théorème
Tous système de CRAMMER admet un unique couple solution.
Dx est le déterminant par rapport à x
Dy est le déterminant par rapport à y.
- Si le déterminant principal D=0 avec Dx≠0 et Dy≠0 les 2 équations ne sont pas compatibles et on a S=Ø
- Si D=0 avec Dx=0 ou Dy=0, les 2 équations sont équivalentes et on a une infinité de solution soit S=IR2
Exercice:
Résolution de chacun des systèmes:
Application:
Système particulier
Résous dans R2 chacun des systèmes:
Inéquation du 1er degré
On appelle inéquation du 1er degré à une inconnue toute écriture pouvant se ramener sur l'une des formes:
Où a et b sont des réels donnés, x l'inconnu.
Résolution
Pour résoudre une inéquation ax+b≤0 on étudie le signe de ax+b et on choisit l'intervalle correspondant.
Règle
Pour résoudre ax+b=0, on étudie le signe de ax+b et on choisit l'intervalle solution.
Exercice:
Correction:
Concours d'entrée aux grandes écoles
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale