Généralités

Les courants alternatifs sinusoïdaux usuels ont des fréquences suffisamment faibles pour que l'approximation des états stationnaires soit valable. Tout cela revient donc à écrire les mêmes lois qu'en courant continu en tenant compte en plus des forces électromotrices d'induction qui peuvent prendre naissance dans les inductions sinusoïdale du flux magnétique.

Différence de potentielle aux bornes des éléments d'un circuit

Résistance morte

V = V_A-V_B = R_i

Inductance

e = -dØ/dt = -Ldi/dt
V = V_A - V_B = Ldi/dt

Condensateur

Régime forcé d'un circuit en courant alternatif sinusoïdal: méthode de résolution

On considère le circuit RLC ci-dessous

Le générateur délivre une force électromotrice alternative de la forme e=E_mCosωt.
Ainsi en écrivant la loi d'Ohm aux bornes de chacun des éléments on obtient l'équation différentielle permettent de calculer l'intensité du courant i à l'instant t, c'est-à-dire:

La solution générale de l'équation sans second membre est telle que i=e^-Rt/2Lf(t) et la solution générale de l'équation avec second membre est telle que i(t)=e^-Rt/2Lf(t)+ACosωt+BSinωt. Au bout d'un temps plus ou moins bref i tend vers la valeur i=ACosωT+BSinωt. Dans ce cas la solution cherchée sera donc de la forme i=I_mCos(ωt+þ). Il s'agit donc de déterminer I_m et þ par la méthode symbolique.

Méthode symbolique

Elle est fondée sur la loi des membres complexes. Soit une fonction sinusoïdale y=aCos(ωt+þ). On peut lui associer la fonction telle que z=y+jx avec j²=-1
z = a[cos(ωt+þ)+jSin(ωt+þ)] = ae^j(ωt+þ)
Ainsi à l'intensité i=I_mCos(ωt+þ) on associe I=I_me^j(ωt+þ) et à la force électromotrice sinusoïdale e=E_mCosωt on associe la partie imaginaire E=E_me^jωt.

Le facteur e^jωt se trouvant en facteur commun dans tous les termes, on le met puisqu'on considère le régime forcé.
On appelle donc:

La quantité Z=R+j(Lω-1/Cω) homogène à une résistance est appelée impédance complexe du circuit.
La partie imaginaire souvent notée X est appelée réactance.
L'impédance Z du circuit exprimée en ohm s'écrit Z=[R²+(Lω-1/Cω)²]^½.
Plus simplement les impédances complexes sont:

Ainsi pour des impédances Z₁, Z₂ et Z₃ montrées en série. On a Z=Z₁+Z₂+Z₃ et pour ces impédances montées en parallèle, on a: 1/Z=1/Z₁+1/Z₂+1/Z₃
On admet donc que la loi d'Ohm en courant alternatif sinusoïdale est V=Z.I

Influence de la fréquence