Généralités

Presque tous les ordinateurs ne font pas le calcul en base 10. La base 10 est le plus souvent utilisée par les hommes, il faut apprendre à convertir les nombres d’une base de données à une autre.

Les systèmes de numération

Par définition est l’action ou la manière de représenter les chiffres. Il existe plusieurs systèmes de numération :

Ces systèmes sont généralement utilisés dans la programmation, pour la communication et l’ordinateur et sont utilisateur. Dans la base donnée α un nombre peut être exprimé sous la forme d’un polynôme. Supposons le nombre suivant X = (a_na_n-1 … a₀) la forme pronominale de se nombre est X = Σⁿ_i=0a_iαⁱ

Ai : coefficient
α : la base

Exemple :

Soit X = 2955 sa forme pronominale est : X = 2x10³ + 9x10² + 5x10¹ + 5x10⁰

Le système décimal ou base 10

 

C’est le système le plus connu et le plus utilisé par les hommes. Il est  constitué de 10 symboles ou chiffres appelés digits. Ces symboles sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9

Le système binaire ou base 2

C’et un système composé de 2 symboles 0 et 1 encore appelé digits binaire (binary digit) d’où le nom bit. Ce système est à la base du langage machine (c’est le seul langage compréhensible par l’ordinateur).

Le système octal ou base 8

C’est un système intermédiaire constitué de 8 symboles qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;

Le système hexadécimal ou base 16

Le langage utilisé par l’ordinateur pour communiquer est le langage binaire. Or écrire une suite d’instruction dans le langage binaire devient parfois impossible car il faudra systématiquement aligner une suite de 0 et de 1. Ce qui est laborieux et augmente les possibilités d’erreur. C’est la raison pour laquelle le système hexadécimal intervient. Ce système dispose de 16 symboles dont 10 chiffres de 0 à 9 et 6 lettres A ; A ; B ; C ; D ; E et F.
A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15

Représentation de données numériques

Un nombre réel comporte généralement une partie entière et une partie décimale. Dans une base α un nombre X quelconque peut avoir la représentation suivante.
X = (a_na_n-1 … a₀, b₁b₂ … b_n). Sa représentation polynômiale est X = Σⁿ_i=0a_iα_i + Σ^m_i=1b_iα_i
Il existe une correspondance entre les bases 10 ; 2 ; 8 et 16.

Base 10	Base 2	Base 8	Base 16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

 

Pour convertir un nombre d’une base donnée à une autre on convertit la partir entière dans la base voulue et pour la partie décimale on convertit la partie fractionnelle dans la base voulue.

Conversion de la partie entière

Conversion de la base 10 à une base β

Il est possible de passer d’un nombre décimal à un nombre en base β en utilisant la division successive par β.
On divise successivement le nombre décimal par β en gardant les restes, on s’arrête lorsque le quotient devient nul. Le résultat est obtenu en prenant l’ordre inverse des restes.

Exemples :

Conversion d’un nombre en base 2.
(18)₁₀ = (…)₂

18 :2 = 9 et reste = 0
9 :2 = 4 et reste = 1
4 :2 = 2 et reste = 0
2 :2 = 1 et reste = 0
1 :2 = 0 et reste = 1

(18)₁₀ = (10010)₂

Conversion d’un nombre en base 8
(207)₁₀ = (…)₈

207 :8 = 25 et reste = 7
25 :8 = 3 et reste = 1
3 :8 = 0 et reste = 3

(207)₁₀ = (317)₈

Exercice :

Effectuer les conversions suivantes :

(3479)₁₀ = (…)₁₆ ; (145)₁₀ = (…)₂ ; (3007)₁₀ = (…)₁₆ ; (452)₁₀ = (…)₈

Conversion de la base β à la base 10

De façon inverse il est facile de passer d’un nombre β d’un nombre en base 10 pour multiplication successive de puissance de β : on multiplie chaque  élément du nombre en base β élevé à une  puissance. Les puissances sont comptées à partir de 0 en partant de la droite vers la gauche, puis on effectue la somme des résultats obtenus :

Exemple :

1) (1100101)₂ = (…)₁₀

2.2⁶ + 1.2⁵ + 0.2⁴ + 0.2³ + 1.2² + 0.2¹ + 1.2⁰ = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = (101)₁₀

2) (203)₈ = (…)₁₀

2.8² + 0.8¹ + 3.8⁰ = 128 + 3 = (131)₁₀

3) (76)₁₆ = (…)₁₀

7.16¹ + 6.16⁰ = 112 + 6 = (118)₁₀

Exercice :

Effectuer les conversion suivantes :

Conversion de la partie décimale

Une partie décimale y s’exprime sur la forme suivante
y=(0.b₁b₂...b_n) = Σⁿ_i=1b_iβ^-i = b₁/β₁ + b₂/β₂ + … + b_n/β_n

En multipliant y par β on obtient une partie entière et une partie décimale
βy = b₁ + b₂/β₁ + … + b_m/β_m-1

Formulons l’algorithme sous la forme suivante
d₀ = y
d₁ = D(βd₀) et b₁ = E(βd₀)                            D : Partie décimale
d₂ = D(βd₁) et b₂ = E(βd₁)                            E : Partie entière et β :la base
.
.
.
.

La conversion de la partie décimale peut générer un nombre qui n’a pas une représentation fixe.

Exemple : (0.175)₁₀ = (…)₂
d0 = 0.175
2d0 = 0.35
d1 = 0.35 et b1 = 0
2d1 = 0.7
d2 = 0.7 et b2 = 0
2d2 = 1.4
d3 = 0.4 et b3 = 1
2d3 = 0.8
d4 = 0.8 et b4
2d4 = 1.6
d5 = 0.6 et b5 = 1
2d5 = 1.2
d6 = 0.2 et b6 = 1
2d6 = 0.4
d7 = 0.4 et b7 = 0
réponse : (0.175)₁₀ = (0.0010110…)₂

Exercice :

Effectuer les conversions suivantes :

Conversion de 2↔8 et 2↔16

Conversion de 2↔8

Etant donné un nombre en base 2 la conversion en base 8 se fait en subdivisant la représentation binaire en groupe de 3 bits en remplaçant chaque groupe par son chiffre correspondant en base 8. La subdivision procède du point décimal vers la gauche pour la partie entière et vers la droite pour la partie décimale. Dans chaque cas on peut avoir à compléter le dernier bit par zéro pour avoir 3 bits.

Exemple :

(11 001 011 . 111 001 11)₂ = (313.716)₈

Pour passer de la base 8 à la base 2 on remplace chaque chiffre par sa représentation binaire.

Exemple :

(4375.4012)₈ = (1000 011 111 101 . 100 000 001 010)₂

Conversion de 2↔16

Chaque symbole de l’alphabet hexadécimal correspond à un nombre de 4 bits. Ainsi on peut passer d’un nombre binaire à un nombre hexadécimal en subdivisant  ces nombres binaires en groupe de 4kbits. Pour la partie entière on procède de la droite vers la gauche à partir du point décimal et pour la partie décimale on procède de la gauche vers la droite. Dans chaque  cas on peut avoir à compléter le dernier quartet de bit par les 0 pour avoir 4 bits.

Exemple :

(100 0111 . 1100 0011 0)₂ = (47.C30)₁₆

Pour passer de la base 16 à la base 2 il suffit de convertir tout simplement chaque chiffre qui compose le nombre hexadécimal en binaire.

Exemple :

(13C)₁₆ = (0001 0011 1100)₂

 

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Opération arithmétique

Les opérations sur les nombres binaires s’effectuent de la même façon que sur les nombres décimaux. Toutefois il ne faut pas oublier que les seuls symboles utilisés sont le 1 et 0.

Addition fondamentale

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 et on retient 1

Soustraction

0 – 0 = 0
0 – 1 = 1 et on retient  1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 – 1 = 0 et on retient 1

Multiplication

Méthode 1

Dans cette méthode on utilise le même principe que dans la base 10. On multiplie le multiplicande par chacun des bits du multiplicateur, on décale à chaque fois les résultats intermédiaires et on effectue ensuite l’addition de ces résultats partiels.

Exemple :

1011 * 111

1011
*111
______
1011
1011
1011
______
1001101

Méthode 2

On multiplie le premier terme par la somme des puissances de 2 du second terme. Pour cela il suffit de décomposer le second terme sous forme de somme de puissance de 2.
Ex : 101011 = 100 000 + 1 000 + 10 + 1

Exemple :

1100 * 1101 = 1100(1000 + 100 + 1) = 1100 000 + 1100 00 + 1100 = 10011100

Division

Nous avons constaté que la multiplication était basée sur une succession d’addition. Inversement la division va être basée sur une succession de soustraction.
Exemple :
1100 : 100 = 11

 

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Opération en complément

La difficulté rencontrée dans l’opération de soustraction a amené les concepteurs d’ordinateur à représenter les  nombres négatifs sous une forme particulière appelée complément. L’opération A-B ou A et B sont des nombres positifs est remplacée par l’opération A + complément de B. dans une base donnée β il existe 2 formes de représentation en complément. Complément à β et complément à β-1.

Calcul du complément

Complément à β-1

Soit un entier A sur n chiffre dans la base β. Le complément à β-1 de A.

C_β-1(A) = (βⁿ-1)-A  avec n : nombre de chiffre et A : entier

Exemple 1 :

β=10  et n=4
C₉(1453) = (10⁴-1) – 1453 = 10 000 - 1 – 1453 = 9 999 – 1 453 = 8546

Exemple 2 :

C₉(391) = 999 – 391 = 608

Exemple :

C₁(1011) = 2⁴ – 1 – 1011 = 1111 – 1011 = 0100

C₁(11101) = 25 – 1 – 11101 = 100 000 – 11 101 = 11 111 – 11 101 = 00 010

Pour trouver le complément à 1 d’un nombre binaire on remplace les 1 par les 0 et les 0 par les 1

C₁(1011) = 0100
C₁(11101) = 00010

Complément à β

Le complément à β de A est égal à sont complément à (β-1)+1. C_β = βⁿ-A

Exemple :

C₁₀(27) = 10² - 2 = 100 – 27 = 73
C₁₀(34500) = 10⁵ – 34500 = 100 000 – 34 500 = 65 500

Le complément à β d’un nombre peut être obtenu directement de la manière suivante : de la droite vers la gauche si on rencontre les zéro on les recopie, dès qu’on rencontre le premier chiffre non nul on trouve son complément à β pour le reste des chiffres on trouve son complément à β-1

Exemple :

C₁₀(4 103 000) = 5 897 000
C₂(100 1101) = 0110011
C₁₀(1 479) = 8521
C₂(10001100100) = 01110011100

Soustraction en complément

soustraction avec les nombres sans signe

Soit à effectuer l’opération suivante x – y = x + complément(y)

On distingue deux cas :

Exemple :

effectuons l’opération en complément à 10 et ensuite en complément à 9.

1372 – 345
C₁₀ : 1372 – 0345 = 1372 + C₁₀(0345) = 1372 + 9655 = 1027

1372 – 0345
C₉ : 1372 + C₉(0345) = 1372 + 9654 = 1027

Exercice :

Calculer en complément à 1 et en complément à 2.

10100 – 10011 = 10100 + C₁(10011) = 10100 + 01100 = 00001

10100 – 10011 = 101000 + C₂(10011) = 10100 + 01101 = 00001

Nombre avec signe

L’ordinateur se sert d’un bit pour représenter le signe avec la conversion 0 pour le signe positif et 1 pour le signe négatif. On se fixe toujours le nombre de bit utilisé pour la représentation des données. Soit n ce nombre de bit, le premier des n bits à partir de la gauche représente le signe. Les n-1 dernier bits représente le nombre en complément à 1 ou à 2.

Exemple : n = 8bits
0011111 = 63
11000000 = -63 en complément à 1
11000001 = -63 en complément à 2

Pour n bits on ne peut représenter que des nombres appartenant à cet intervalle.

[-(2^n-1-1) ; 2^n-1-1] en complément à 1

[-2^n-1 ; 2^n-1-1] en complément à 2

Exemples :

101110 et n = 6
[-31 ; 31] à 1 on a  01001 = -17
[-32 ; 31] à 2 on a 010010 = -18

1101011 et n = 7
[-63 ; 63] à 1 on a 0010100 = -20
[-64 ; 63] à 2 on a 0010101 = -21

Soit à effectuer A-B sur n bits cette opération revient à calculer A + complément(B) sur les n bits.

Exemples :

n = 4bits
-3 + 7
3 = 0011 et -3 = C₂(3) = 1101 et 7 = 0111
R = 0100

n = 4bits
-3 – 4
-3 = C₂(3) = 1101 et 4 = 0100 alors -4 = C₂(4) = 1100
R = 1001

 

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Représentation en virgule flottante

Beaucoup d’applications numériques manipulent les données autres que les entiers. Ces derniers sont appelées nombres flottant. De façon générale, un nombre flottant est une représentation interne d’un nombre réel et il permet ainsi de coder des grands nombres. A un nombre à virgule flottante on associe  deux jeux de données :

Il existe plusieurs représentations pour les nombres flottant.

Exemple : 13x10⁶ = 0.13x10⁸ = 1.3x107 = 1300x10⁴

Il nous faut donc représenter ces nombres sous une forme normalisée afin d’obtenir une forme unique c’est-à-dire une représentation qui ne varie pas d’un matériel à un autre. Un nombre normalisé en virgule flottante est sous la forme : X = ±0.α₁α₂… α_tβ^e

où 0 ≤  α_i ≤ β-1
0 ≤ m < 1
α₁ ≠ 0

Exemple :

27.38 = 0.273x10²
0.047x10³ = 0.47x10²

Il existe plusieurs conventions de représentation :

Représentation dans la norme IEE

La base utilisée dans la représentation est la base 16. Il convient donc de transcrire d’abord le nombre à représenter en base 16. Ensuite il faut le normaliser. Dans la norme IEE l’exposant de référence à savoir 64.

Exemple :

Soit à représenter le nombre suivant en virgule flottante dans la norme IEE : 27,38

Comment retrouver la valeur décimale d’un nombre représenté en virgule flottante dans la norme IEE

On retrouve dans un vidage de fichier les valeurs hexadécimales suivantes (84163852)₁₆

|1000010|0| 0001 0110 0011 1000 0101 0010|

Exercice :

1-      Représenter en IEE

2-      Décoder