Equations du second degré
Polynôme du second degré
Un polynôme du second degré est toute application f:R→R qui à toute valeur de x associe f(x)=ax2+bx+c avec a appartenant à R*, b appartenant à R; c appartenant à R.
Mise sous forme canonique d'un polynôme du second degré
Equation du second degré
On appelle équation du second degré, toute expression de la forme ax2+bx+c=0 avec a appartenant à IR*; b appartenant à R; c appartenant à R
Résolution
La résolution de ce type d'équation est dépendante du discriminant D=b2-4ac
- Si D<0 , l'équation n'admet aucune racine réelle S=Ø
- Si D>0 , l'équation admet deux racine distincte:
- Si D=0, l'équation admet une racine
Exercice: Résolution d'une équation bicarrée.
x4 - 4x2 - 45 = 0
↔ (x2)2 - 4x2 - 45 = 0
Posons X = x2
X2 - 4X - 45 = 0
D = (-4)2 - 4(-45) = 196 = 142
X1 = ½(4-14) = -5 ; X2 = ½(4+14) = 9
Comme x2 = X
↔ x2 = -5 (impossible)
↔ x2 = 9 équivaut à x = 3 ; x = -3
S = {-3 ; 3}
Signe du polynôme du second degré
Soit le polynôme f(x)=ax2+bx+c avec a différent de 0
- Si Δ<0 ax2+bx+c est du signe de a pour tout signe réel
- Si Δ=0 le polynôme ax2+bx+c est du signe de a
- Si Δ>0 le polynôme ax2+bx+c possède 2 racines réelles distincte
Théorème:
Le polynôme du second degré ax2+bx+c avec Δ>0 est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a à l'intérieur.
Somme et produit des racines
Recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Résolution de l'équation paramétrique du second degré
Discutez suivant les valeurs du paramètre m l'existence, le signe des racines de l'équation suivante: (m+4)x2+(2m+5)x+m-2=0
- Si m+4=0 ; m=-4 l'équation est du premier degré et on a (-4+4)x2+[2(-4)+5]x-4-2=0
↔ 0x2-3x-6=0 ↔ x=-2 S= {-2} - Si m+4 différent de 0 ; m différent de -4, l'équation est du second degré. Calculons le discriminant.
Résolution des systèmes linéaires dans IR2 et IR3
Résolution des systèmes linéaires dans R2
Ce sont les systèmes d'équation de la forme:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0
Comme méthode de résolution, on distingue:
- Méthode par substitution
- Méthode par combinaison
- Méthode du déterminant ou système de CRAMER
Exemple:
Résoudre dans R2 le système d'équation suivant
3x + 4y = 2
2x + 5y = 1
Méthode par substitution
3x = 2 - 4y ↔ x = (2-4y)/3
2(2-4y)/3 + 5y = 1
↔ 4 - 8y + 15y = 3
↔ 7y = -1
↔ y = -1/7
S = {(6/7 ; -1/7)}
Par comparaison
Méthode du déterminant ou de CRAMER
Résolution des systèmes dans R3
Ce sont des systèmes de la forme
Pour résoudre ce type de système, on distingue comme méthode:
- Méthode par substitution
- Méthode du pivot de GAUSS
Méthode par substitution
Exercice 1:
Résoudre dans R3 le système d'équation suivant:
Exercice 2:
Résoudre dans R3 le système d'équation suivant:
Méthode du pivot de GAUSS
Il est question dans cette méthode d'éliminer d'abord l'inconnu x par combinaison dans (E2) et (E3). (E1) étant le pivot. En suite éliminer l'inconnu y dans la dernière équation obtenue, ce qui permet de trouver l'inconnu z. Le système "triangulaire"
Ainsi obtenu permet de trouver les autres inconnues en commençant par la dernière équation puis remonter progressivement jusqu'à la première.
Exemple:
Résoudre dans R3 le système d'équation:
Inéquation du second degré
Une équation du second degré est une expression de la forme:
Résolutions:
Exercice 1:
Résoudre dans R l'inéquation:
Exercice 2:
Résoudre dans R l'inéquation suivante:
La programmation linéaire
La programmation linéaire est un outil mathématique donc le but est de rechercher la combinaison optimale c'est-à-dire celle qui donne le maximum de satisfaction au moins du coût.
La demande est la suivante:
- Le choix des inconnus
- La mise en équation ou inéquation des informations du texte
- La résolution du problème mathématique
Exemple:
Une entreprise fabrique des fauteuils et des chaises à l'aide de 3 machines A, B, C. Pour fabriquer les machines A et B pendant 1 heure, la machine C pendant 3 heures. Pour fabriquer une chaise, on utilise les machines A et C pendant 2 heures. Mais les machines ne sont ne sont disponibles que 60 heures pour A, 90 heures pour B, 150 heures pour C. Un fauteuil génère un bénéfice de 10.000F et une chaise de 5.000F. Combien faut-il fabriquer de fauteuil dans ces conditions, un bénéfice maximum.
Solution:
1) Choix des inconnues
x → fauteuils ; y → chaises
Soit x le nombre de fauteuil et y le nombre de chaise.
2) Mise en équation de l'information du texte
Machines |
Fauteuil |
Chaises |
A |
x |
y inférieur ou égale à 60 |
B |
x |
2y inférieur ou égale à 90 |
C |
3x |
y inférieur ou égale à 150 |
3) Résolution du problème mathématique
(D1): x+y=60
x |
0 |
60 |
y |
60 |
0 |
(D2): x+2y=90
x |
0 |
90 |
y |
45 |
0 |
(D3): 3x+y=150
x |
0 |
50 |
y |
150 |
0 |