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Séries

Série numérique

 

Soit (Un)n une suite numérique et (Sn)n la suite des sommes partielles de (Un)n
S1 = U
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
Sp = U1 + U2 + ... + Up

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Convergence d'une série

 
 

17

Quelques critères de convergence

 

Condition nécessaire de convergence

 
 

18

Critère suffisant de convergence

 

Critère de Alembert

 

19

Exemple:

Donnez la nature de la série

 

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La série converge.

 

Critère de Cauchy

 
 

21

Exemple:

Donnez la nature de la série

 

22

Convergence d'une série (Sn)n de Cauchy

 
 

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(Sn)n st dite série de Cauchy, elle est convergente.

 

Critère de convergence de Leibniz

 

On appelle série alternée, une série de la forme U1-U2+U3+U4-U5-U6+...+(-1)n-1Un+... (E) où les Ui sont tous positifs.
Alors le critère de Leibniz:

 
 

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Exemple: Etudiez la convergence de la série:
1/2 - 2/(22+1) + 3/(32+1) - 4/(42+1) + ...

 

Autres propriétés

Critère de comparaison

 
 

25

Convergence absolue / Semi convergence

 
 

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Combinaisons de série

 
 

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Exercice:

  1. Déterminez pour quelle(s) valeur(s) de x, la série S(x) est convergente.
    S(x) = 1 + e-x + e-2x + e-3x
    S(x)=limSk(x)
  2. Calculez la somme de la série 1/1.3 + 1/3.5 + 1/5.7 + 1/5.7 + 1/7.9 + ...
 

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Séries de fonctions

 

On a appelle série de fonctions, une série de la forme f0(x) +f1(x) +f2(x) +...+fx(x) +.... où les f(x) sont des fonctions continues sur un domaine D.

 

Domaine de convergence

 

L'ensemble D des valeurs de x pour lesquelles la série f0(x) +f1(x) +f2(x) +...+fx(x) +.... converge est appelé domaine de convergence de la série.

 

Convergence uniforme

 

Dans la suite on considère que

 
 

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Nous allons définir la notion de convergence uniforme (a) différente de la convergence simple (b) avec b→b

 

Définition

 

Une série de fonction simplement convergente est dite uniformément convergente sur un domaine D si

 
 

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Il existe un autre entier suffisant.

 

Critère de convergence de Weierstrass

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