Probabilités et statistiques : épreuves indépendantes et répétables

Index de l'article

Elément d'analyse combinatoire

Considérons un ensemble de n éléments différents, un échantillon aléatoire a1, a2, ... an de ces éléments seront appelés groupement.
Par exemple: Lorsqu'on jette une pièce de monnaie 10 fois, sa tombée du côté face (F) et du côté pille (P) peut donner le groupement suivant: FFFPPFPPP

Binôme de NEWTON

208

Loi binomiale : épreuve de BERNOUILLI

Si on effectue N épreuves indépendantes et si la probabilité de réalisation d'un événement A(succès) dans chacun de ces épreuves est invariable, égale à P. Alors la probabilité d'apparition n fois de l'événement A(en succès) dans ces m épreuves est donnée par la formule de BERNOULLI.

BN[m,p] = PN(m) = P(X=m)
CmNPmqN-m

Avec m: nombre de succès
P: probabilité de succès
N: nombre d'épreuve.
q=1-p est la probabilité d'un échec.

Exercice:

Une urne contient 30 boules: 20 blanches et 10 noires: L'expérience est la suivante:
On tire 4 boules suite (avec remise et brassage)

  1. Quelle est la probabilité pour que deux boules soient blanches?
  2. Quelle est la probabilité pour qu'au moins une boule tirée soit blanche?

Résolution:

209
  1. Soit Ai l'événement "obtenir i boules blanches en 4 épreuves"
    Soit E l'événement "obtenir au moins 1 boule blanche en 4 épreuves"
    Prob(E) = Prob(A1)+Prob(A2)+Prob(A3)+Prob(A4)
    Prob(A1) = C14p1q3 = (4)(2/3)1(1/3)3
    Prob(A2) = C24p2q2 = (6)(2/3)2(1/3)3(1/3)2
    Prob(A3) = C34p3q1 = (4)(2/3)3(1/3)1
    Prob(A4) = C44P4
    Prob(E) = 8/81 + 24/81 + 32/81 + 16/81 = 80/81

    Autre méthode:
    E (contraire de E) "Obtenir 0 boule en 4 épreuves"
    P(E) = 1 - P(E)
    P(E) = 1 - P(E)
    Calculons P(EU) = 1 - P(E)
    P(E) = 1 - P(E)
    Calculons P(E) = B4(0;2/3) = C04p0q4
    P(E) = (1)(1/3)4 = 1/81
    P(E) = 1 - 1/81
    P(E) = 80/81

Quel est le nombre d'apparition de la boule blanche dans une épreuve?

Nombre le plus favorisé

On définit le nombre le plus favorisé m0 d'apparition d'un "succès" au bout de N épreuves. Ce nombre m vérifie

210

A la suite des observations entreprises pendant une période de temps prolongée, on a constaté que la probabilité que la pluie tombe dans une certaine ville est de 1/7.
Déterminez le nombre le plus favorisé le jour pluvieux le premier Octobre dans la ville donnée au cours de 40ans.
N=40 ; p=1/7 ; q=1-1/7=6/7
Résolution:

211