Cas discret
On appelle variable aléatoire une grandeur qui peut prendre diverses valeurs selon les résultats d'une épreuve. Pour chaque résultat élémentaire, sa valeur étant unique. Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre de valeur.
Fonction ou loi de répartition
On appelle fonction ou loi de répartition d'une variable aléatoire discrète toutes les valeurs possibles de ces variables et leur probabilité : pi
Exemple de loi de répartition:
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Variables |
X |
x1 |
x2 |
... |
xx |
... |
xN |
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Probabilité en fréquence |
P(x) |
P1 |
P2 |
... |
Pi |
... |
PN |
Exercice:
Dans une loterie de 10000 tickets, il y'a un lot de 10€, 10 lots de 1€ et 100 lots de 0,3€.
Trouvez la loi de répartition du gain aléatoire X pour le possesseur d'un seul ticket: faire le tableau.
Résolution:
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X |
0€ |
0,3€ |
1€ |
10€ |
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P |
0,98 |
0,01 |
0,001 |
0,0001 |
Espérance mathématique variante et écart type
Définitions
Soit une épreuve r ayant une fonction de répartition (r, X) ou X est la variable aléatoire associée à la fonction.
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Xi |
1 |
2 |
3 |
... |
n |
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P(x = xi) |
P1 |
P2 |
P3 |
... |
Pn |
On définit les temps suivants:
- Espérance mathématique ou moyenne statistique liée à Xi notée E(X) ou (X-). On a:
- Variance ou dispersion statique notée V(x):
- Ecart type ou dérivation standard ou écart quadratique moyen:
Autres formules
Application à un processus de Bernoulli
Soit un processus de Bernoulli à N répétition et à probabilité de succès égal à P.
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Xi |
0 |
1 |
2 |
... |
N |
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P(X=Xi) |
C0NqN |
C1NqN-1p |
C2NqN-2p2 |
... |
CNNpN |
On montre que pour ce processus:
Théorème d Laplace local
Théorème de Laplace intégral
Proposons-nous de calculer la probabilité ßN[m1<m<m2;P] pour que en N épreuve de Bernoulli N tend vers l'infini, le nombre de répétition d'un événement A de probabilité P soit compris entre m1 et m2 alors
ßN[m1<m<m2;P] = PN[m1<m<m2] = PN[tm1<t<tm2 = Ø0(tm2)-Ø0(tm1)
(Valeur de Ø0 donnée en tables)
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale