Fonction de répartition : loi des grands nombres - Fonction de répartition normale ou loi normale

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Fonction de répartition normale ou loi normale

Définition

On appelle loi de répartition normale, la loi notée:

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Où fN(x) est la densité de probabilité normale donnée par:

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Conséquences, application

Si une variable aléatoire X suit une loi normale, alors:

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Avec E(x) = m

Exercice:

Une variable aléatoire X d'espérance mathématique E(x)=1,6 et d'écart type (normé) égale à 1, est régie par la loi normale.

  1. Calculer la probabilité qu'a la suite d'une épreuve.
    • x appartenant à ]1; 2[
    • x appartenant à ]1; 3[
  2. Calculer la probabilité qu’à la suite de 4 épreuves, on obtient:
    • au moins une fois x appartenant à [1; 2]
    • exactement deux fois x appartenant à [1; 3]

Solution:

  1. P(1<x<2) = Ø0(2-1,6)/1 - Ø0(1-1,6)/1
    = Ø0(0,4) - Ø0(-0,6) = Ø0(0,4) + Ø0(0,6) car Ø0 impaire
    = 0,1554 + 0,2257
    P = 0,3811
  2. On veut au moins un succès en 4 épreuves (E)
    Contraposé: aucun succès en 4 épreuves (E)
    P(E)=1-P(E) or P(E)=q4=(1-P)4
    P(E)=1-P(E) = 1-[1-P]4 = 1-[1-0,38]4


Loi des grands nombres

Théorème de Bierayme-Chebitcher

Soit une variable aléatoire XN qui dépend du nombre d'épreuves N. L'espérance mathématique E(x), la variance V(x) et un nombre aussi petit que possible.
On montre l'équivalent des 2 formules suivantes:

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Théorème de Bernoulli

Soit N épreuve de Bernoulli pour lesquelles un événement A est obtenu µ fois avec une probabilité (succès) P.

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Exercice

On jette un dé 300 fois. Majorer la probabilité que la fréquence d'arrivée du côté "6" s'écarte de moins de 0,05% de la probabilité d'arrivée du côté "6".