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Conductivité – résistivité

Faits expérimentaux

L'expérience montre que dans un champ à température constante le vecteur densité de courant en un point est proportionnel au champ électrique en ce point.

Cette relation constitue la loi d'Ohm dans sa forme locale. La constante de proportionnalité est б. La loi d'ohm est valable pour un grand nombre de conducteur usuel.

Interprétation

On sait qu'un conducteur renferme les charges libres sous l'action d'un champ électrique. Ces charges vont se mettre en mouvement, ce mouvement est toutefois gêné par la présence d'autres charges présentes dans le milieu conducteur. Ainsi dans le cas d'un métal les charges libres sont les électrons libres et le mouvement des électrons libres est généré par les ions.
Supposons qu'on puisse décrire cette force de résistance par une force de frottement de type visqueux f=bV. V étant la vitesse de la charge considérée et b une constante positive caractéristique de la substance considérée. Le mouvement d'une charge q de masse m obéit à la relation fondamentale de la dynamique.

Remarque 1:

L'hypothèse de frottement visqueux conduit à la loi d'ohm certes mais ne rend pas compte de ce qui se passe effectivement pour une charge microscopique. En effet un électron libre dans un conducteur accéléré par un champ électrique subit des chocs électriques contre les ions et leurs cortèges électriques. Ces chocs modifient leur vitesse, ainsi entre deux chocs consécutifs la vitesse u d'un électron libre est telle que:

U₀ représente la vitesse de l'électron immédiatement après le choc. La vitesse d'ensemble des électrons libres doit être égale à la vitesse moyenne des vitesses moyennes immédiates individuelles des électrons libres.

<U₀>=0 car le mouvement initial des électrons est parfaitement désordonnée. La valeur moyenne d'une fonction f(t) à un intervalle de temps T est par définition

Appelons n le nombre d'électron libre du métal par unité de volume, la charge délimitée de volume est Þ=-ne par conséquent

Remarque 2:

La loi d'ohm implique que l'on ait aussi V proportionnel à E. On convient de définir la constante de proportionnalité de telle sorte que V=-µE pour une charge négative.
µ est la mobilité du porteur de charge avec

Dans le cas d'un milieu comportant deux types de porteur de charge nous aurons

Résistance d'un conducteur

Considérons un conducteur l d'extrémité A et B parcouru par un courant d'intensité I.

Si on multiplie par un scalaire k quelconque V_A-V_B est inchangée.

Définition:

On appelle résistance d'un conducteur ohmique la quantité R=(V_A-V_B)/I
On obtient ainsi l'expression générale de la loi d'ohm pour une résistance V_A-V_B=RI
Si on pose U=V_A-V_B, on obtient alors U=RI. La résistance quant à elle peut s'écrire

Remarques:

Association des conductances

On peut associer les résistances soit en série, soit en parallèle.

Association en série

Considérons trois résistances R₁, R₂ et R₃ montées en série

Dans ces conditions les résistances sont traversées par le même courant d'intensité I, et on peut écrire la loi d'ohm aux bornes de charge résistance.

Ainsi d'une manière générale dans le cas d'un groupement en série

Association en parallèle

Considérons trois résistances R₁, R₂, R₃ montées en parallèle.

Dans ces conditions les résistances sont soumises à la même différence de potentiel mais sont traversées par les courants d'intensité différente:
V_A-V_B = R₁I₁ = R₂I₂ = R₃I₃
V_A-V_B = R_eI
I₁=(V_A-VB_B)/R₁ ; I₂=(V_AV_B)/R₂ ; I₃=(V_A-V_B)/R₃ ; I=I₁+I₂+I₃
1/R_e=1/R₁+1/R₂+1/R₃
On généralise aisément dans le cas d'un groupement en parallèle.

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Conséquence

Diviseur de tension

Soit deux résistances R₁ et R₂ montées en série et parcourues par le même courant d'intensité I. Soit U la différence de potentiel aux bornes de l'ensemble et soit U' la ddp aux bornes de R₂

U=(R₁+R₂)I ; U'=R₂I
U=(R₁+R₂)U'/R₂ ; U'=R₂.U/(R₂+R₁)

Diviseur de courant

Soient deux résistances R₁ et R₂ montées en parallèles

Elles sont soumises à la même ddp, U. Soient I₁ et I₂ les intensités traversant ces résistances.
I=I₁+I₂ ; U=R₁I₁=R₂I₂
I₁=R₂I/(R₁+R₂)