Systèmes de numération et codes

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Il existe plusieurs systèmes de numération en technologie numérique dont les plus courants sont:

  • Le système décimal ou base 10
  • Le système binaire ou base 2
  • Le système octal ou base 8
  • Le système hexadécimal ou base 16

Base d'un système de numération

La base d'un système de numérisation est le nombre d'élément qu'utilise ce système.
Exemple:

  • La base 2 utilise deux chiffres {0,1}
  • La base 10 utilise deux chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • La base n utilise n chiffres qui vont de 0 à n-1: {0, 1, 2...n-1}

Représentation sous la forme polynomiale

Tout nombre "X" écrit en base "b" peut être décomposé en puissance de b.
Exemple: Soit le nombre X1: (anan-1...a0a-1a-2...a-n)b
Ce nombre peut être décomposé en puissance de b de la manière suivante:
X1 = anbn + an-1bn + ... + a0b0 + a-1b-1 + a2b2 + ... + a-nb-n
Partie entière
Partie décimale

Exemple2:

X2 = (1984,34)10 = 1x103+9x102+8x101+4x100+3x10-1+4x10-2
X3 = (3725,401)8 = 3x83+7x82+2x81+2x80+4x8-1+0x8-2+1x8-3

Soit: X= anan-1...a1a0
"a0" est le chiffre de rang zéro. On l'appelle aussi le chiffre le moins significatif.
"an" est le chiffre de rang "n" ou le chiffre le plus significatif.

Exemple:

Le nombre N = 4783910
"4" est de rang 4 ou de poids 104
"9" est de rang 0 ou de poids 100
"8" est de rang 2 ou de poids 102

Etude de quelques bases

 

Base 2 (Système de numération binaire)

C'et la base la plus utilisée en électronique numérique, elle comporte deux chiffres 0 et 1 appelé bits.
Le chiffre le plus significatif est appelé bits de poids le plus fort MSB (Most Significant Bit).
Le chiffre me moins significatif est appelé bit de poids le plus faible LSB (Least Significant Bit).
Soit le nombre N = (1MSB 0 1 1 0 1 1LSB)2

 

Base 8 (Système de numération octal)

 

Cette base utilise 8 chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Exemple N = (3473,5)8

 

Base 16 (Système de numération hexadécimal)

 

Cette base utilise 16 éléments qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Avec

 

A = 10

D = 13

B = 11

E = 14

C = 12

F = 15

 

Exemple:

N = (1F2)16


 

Conversion d'une base à une autre

 

Passage d'une base "b" différente de 10 à la base 10

 

Il s'agit simplement d'écrire le nombre à convertir sous la forme polynomiale dans sa base "b" puis d'effectuer les calculs pour obtenir la valeur en base 10.

 

Conversion binaire - décimale

 

Exemple 1:

Convertir le nombre X1=(1101)2

Résolution:

X1 = (1101)2 = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 8 + 4 + 0 + 1
X1 = (1101)2 = (13)10

Exemple 2:

Convertir le nombre X2=(1001,101)2

Résolution:

X2 = (1001,101)2 = 1x23 + 0x22 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 9 + 0,5 + 0,125
X2 = (1001,101)2 = (9,625)10

 

Conversion octale - décimale

 

Exemple 1:

Convertir X1 = (342)3

Résolution:

X1 = 3x82 + 4x81 + 2x80 = 192 + 32 + 2 = 226
X1 = (342)8 = (226)10

Exemple 2:

Convertir X2 = (745,05)8

Résolution:

X2 = 7x82 + 4x81 + 2x80 + 0x8-1 = 448 + 32 + 2 + 0 + 0,078125
X2 = (742,05)8 = (482,078125)10

 

Conversion hexadécimale - décimale

 

Exemple 1:

X1 = (1F2) ? ( )10

Exemple 2:

X2 = (1AOB,CD)16 ? ( )10

 

Passage du décimal à la base "b"

 

Le principe ici consiste à effectuer des divisions successives du nombre décimal à convertir par la base "b"

Exemple 1:

Convertir le nombre (22)10 = ( )2

Résolution:

On retient le résultat final et les restes qui doivent toujours être inférieurs à la base "b"

00

 
 

Conversion d'une base a une autre différente de la base 10

 

Première méthode

 

Elle consiste à faire un passage par la base 10 en suite quitter de la base 10 à la base recherchée.
Exemple: Convertir (1101)2 = (?)8

  • Première opération:
    (1101)2 = (13)10
  • Deuxième opération:
    (13)10 = (15)8

(1101)2 = (15)8

 

Deuxième méthode:

 

Elle consiste à regrouper les bits par bloc de 4 à partir de la droite en suite convertir la valeur de chaque bloc en hexadécimal (cas de la conversion binaire hexadécimal).
Le regroupement se fera par bloc de 3 bits lorsqu'il s'agira de la conversion octale.



Tableaux des équivalences:

 

Décimal

Binaire

Hexadécimal

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

 

 

 

Décimal

Binaire

Octal

0

000

0

1

001

1

2

010

2

3

011

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7

 

Exercice 1:

Convertir en hexadécimal les nombres binaires suivants

01

 
 

Exercice 2:

Convertir en octal les nombres binaires suivants:

 

02

 
 

Conversion d'un nombre décimal ayant une partie décimale en binaire

 

Le principe de conversion de la partie entière ne change pas. La partie décimale se convertit par multiplication successive de cette dernière par la base "2". On conservera à chaque fois la parie entière du résultat obtenu qui doit toujours être inférieure à la base "2".
Exemples:
Convertir (13,25)10 = (?)2
(13)10 = (1101)2
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x = 1 1
(0,25)10 = (0,01)2
(13,25)10 = (1101,01)2

Convertir (27,625)10 = (?)2
(27)10 = 11011
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1
(0,625)10 = (101)2
(27,625)10 = (11011,101)2

Convertir (15,3)10 = (?)2
(15)10 = 1111
0,3 x 2 = 0,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8
0,8 x 2 = 1,6
(15,3)10 = 1111,01001

En binaire on peut compter de 0 2N-1

 


 

 


Les codes

 

Un nombre ou caractère peut se présenter dans plusieurs codes. Les codes les plus utilisé sont:

  • Le code binaire pur
  • Le code binaire réfléchi (code Gray)
  • Le code DCB (Décimal Codé Binaire) ou BCD
  • Le code ASCII (Americain Standard Code for Information Interchange)

Le code DCB

 

C'est un code dans lequel chaque chiffre décimal est représenté par son équivalent binaire sur 4 bits.

 

Tableau de conversion DCB

Décimal

DCB

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

 

Exemple:

Donner l'équivalent des nombres suivants en DCB.
N1 = (345)10 = (?)DCB
N2 = (984)10 = (?)DCB

N1 = (345)10
345= 0011 0100 0101
N1 = (345)10 = (001101000101)DCB

N2 = (984)10
984 = 1001 1000 0100
N2 (984)10 = (1001 1000 0100)DCB

Pour convertir un nombre d'une base "b" différente de la base 10 au DCB ou inversement, il faut faire un passage par la base 10

Exemple:

 

Conversion Binaire DCB
N1 = (1111)2 = (?)DCB
N2 = (101111)2 = (?)DCB

N1 = (1111)2 = (15)10 = (0001 0101)DCB
N2 = (101111)2 = (47)10 = (0100 0111)DCB

 

Code binaire réfléchi (ou code Gray)

 

C'est un code qui permet d'éviter les erreurs de transition lors des changements d'état en binaire. Dans ce code lors du passage d'un état à un autre un seul changement de valeur.

 

Correspondance Binaire Pur - Binaire réfléchi

Décimal

Binaire Pur

Binaire réfléchi

 

23

23

21

22

23

22

21

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

0

1

0

0

0

1

1

3

0

0

1

1

0

0

1

0

4

0

1

0

0

0

1

1

0

5

0

1

0

1

0

1

1

1

6

0

1

1

0

0

1

0

1

7

0

1

1

1

0

1

0

0

8

1

0

0

0

1

1

0

0

9

1

0

0

1

1

1

0

1

10

1

0

1

0

1

1

1

1

11

1

0

1

1

1

1

1

0

12

1

1

0

0

1

0

1

0

13

1

1

0

1

1

0

1

1

14

1

1

1

0

1

0

0

1

15

1

1

1

1

1

0

0

0

 

Code ASCII

 

Le code utilisé par la majorité des ordinateurs pour reconnaître les caractères (lettres, chiffres, symboles) est le code ASCII, on l'appelle aussi code alpha numérique.
Le code ASCII à 7 bits permet de coder 27 = 128 caractères.

 

Caractères

Code ASCII

Equivalent

Octal

Hexadécimal

1

011 0001

061

31

A

100 0001

101

41

D

100 0100

104

44

K

100 1011

113

4B

Blanc

010 0000

040

20

Retour

000 1101

015

0D