Triangle et trigonométrie

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (90°). Le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse.

BC=hypoténuse
AB et AC sont les côtés de l'angle droit.

 

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Propriété

La hauteur issue du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle partage ce triangle en deux triangles semblables entre eux et au premier.

 

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Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés du côté de l'angle droit. BC²=AB²+AC²
A l'inverse si dans un triangle, on a AC²=AB²+BC² alors le triangle est rectangle.

Le sinus et le cosinus

Dans un triangle rectangle, le sinus (sin) de l'angle est égal au côté opposé à cet angle sur l'hépatorénaux.

Sin B = AC/BC;
Sin C = AB/BC;
Sin  = BC/BC = 1; sin90 = 1
Le sinus est une constante, il varie de -1 à 1

Exemple

Soit un triangle rectangle en B tel que l'hypoténuse égale à 10cm et l'un des côtés de l'angle droit égale à 8Cm.
1) Trouvez l'autre côté de l'angle droit.
2) Calculez sinus de l'angle  et Sinus C.

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Le cosinus (Cos)

Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle est égal au côté adjacent le sur l'hypoténuse. Le côté adjacent est le côté qui se trouve au bras gauche de l'angle.

CosB = AB/BC
CosC = AC/BC.

 

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Relation entre le sinus et le cosinus

Comme le sinus le cosinus d'un angle varie -1 <= cosß <= 1.
Quelque soit l'angle on a sin²ß+cos²ß=1

Exemple

Dans un triangle ABC rectangle en B, AC=32,5 sinÂ=5/13; cosÂ=12/13. Calculez AB et BC.

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La tangente (tg ou tan) d'un angle

Dans un triangle rectangle la tangente est égale au sinus sur le cosinus.
tg(x) = sin(x)/cos(x) = (côté opposé)/(côté adjacent).

Le centre du cercle circonscrit dans un triangle rectangle et le milieu de l'hypoténuse.

Exemple:

Soit un triangle rectangle en A tel que AC=10; BA=8. Calculez BC, tanC, Calculez le rayon du cercle circonscrit.

 

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Valeur approchée d'un côté

La valeur approchée d'un côté d'un triangle est la mesure sensiblement égale à l'unité supérieure.

Exemple 1

Soit un triangle EFG rectangle tel que EF=10, l'angle E=36°, Calculez la valeur approchée de EG.

Exemple 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=30 et l'angle B=27°, trouvez la valeur approchée de BC et CA.
AB=30
l'angle B = 27°

D'après la propriété de Pythagore on a:
AC = BC.Sin27° = 33,67x0,453 = 15,25

 

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La valeur absolue

La valeur absolue d'un nombre réel est la distance de ses nombres à zéro.