Recherche de deux nombres connaissant leur S et leur produit P
Résolvons le système ci-dessous
Le système somme produit des scalaires x+y=S et xy=P conduit à une équation du 2nd degré de la forme x2-Sx+P=0
Dans la résolution de cette équation on a 3 cas:
- Si Δ=S2-4P<
- Si Δ=S2-4P=0 ↔ S2=4P l'équation admet une racine double x=y=S/2. s= {(5/2; 5/2)} ↔ s= {(x; y)}
- Si Δ>0 ↔ S2>4P l'équation admet 2 racines distinctes dont les 2 nombres x et y existent.
Exemple:
Résoudre une équation du 2nd sans calculer le discriminant
Exercice:
Résoudre dans R chacune des équations suivantes sans calculer le discriminant
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a) x2 + 2x - 3 = 0 |
b) x2 - 3x + 2 = 0 |
|
c) x2 - 6x + 8 = 0 |
d) 3x2 + 2x - 1 = 0 |
Pour certaines équations, dès qu'on a une racine évidente, il suffit de calculer le produit ou la somme des racines pour avoir la 2e racine.
a) x2 + 2x - 3 = 0
1 + 2 - 3 = 0
x1 = 1 est une racine évidente
S = x1 + x2 = -2
↔ 1 + x2 = -2
↔ x2 = -3
b) x2 - 3x + 2 = 0
Une racine évidente est x1=1. La somme S des racines est S=x1+x2=-b/a
S = 1 + x2 = -3/1
↔ x2 = 3 - 1
↔ x2 = 2
On peut utiliser le produit P=x1x2=c/a
Soit 1x2 = 2
↔ x2 = 2
c) 3x2 + 2x - 1 = 0
Une racine évidente est x1=-1. On peut utiliser la division euclidienne pour obtenir l'autre racine et la forme factorisée du polynôme 3x2+2x-1
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale