Développements limités

On dit qu'une fonction f, C_nⁿ⁺¹ de A vers R admet un développement limité d'ordre N au voisinage de x₀ appartenant à A, noté DJ_n(x)(f). S'il existe un polynôme P_N d'ordre inférieur ou égal à n et une fonction qui vérifient

Existence et unité du DL_n(x)f

Existence

Montrons qu'une fonction f de classe C^N+1_[a+b] peut s'écrire sous forme polynomiale: f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+a_n(x-x₀)^N+R_N(x) où R_N(x) est l'erreur d'approximation.
R_N(x₀)=0 on aura:

(3) est le polynôme de Taylor de f lorsque x₀=0, c'est la formule de MacLaurin très utilisée dans les calculs de limites.

Unicité

Supposons que f admettent deux DL_n(x₀):
DL_x1(x₀)(f): Q_n(x) + R_n(x) = q₀ + q₁(x-x₀) + q₂(x-x₀)² + ... + q_n(x-x₀)ⁿ + R_n(x) = f(x)
DL_x2(x₀)(f) : Z_n(x) + P_n(x) = Z₀ + Z₁(x-x₀) + Z₂(x-x₀) + ... + Z_n(x-x₀)ⁿ + P_n(x) = f(x)
En utilisant de proche en proche les dérivées successives f^(N)_(x0), on montre facilement que (q₀=Z₀; q₁=Z₁; q₂=Z₂; ...; q_n=Z_n) R_n=Qn.

Formule du reste R_n(x)

Si la partie régulière du DL_n(x₀)(ƒ) s'écrit:

Exercice:

Déterminez le DL₄(x₀=0) : x → e^x
Déterminez le DL₂(x₀=0) : x→ Cos(xe^-x)
Déterminez le DL₂(x →) : x→ ln(x+1)/Sh(x)
(Indication: Sh(x)=(e^x-e^-x)/2 )

Résolution:

f(_x) = e^x
f'(x) = e^x
f"(x) = e^x
f"'(x) = e^x
f^N(x) = e^x

Ce DL₄ permet d'étudier le comportement de x → e^x au voisinage de 0

Développement en série entière d'une fonction

Soit f une fonction de classe C [a, b], on montre que si:

Opération sur les développements limités

Supposons deux fonctions f et g C^k[a,b] et x₀ appartenant à ]a,b[
DL_N(x₀)(f+g) = DL_N(x₀)(f) + DL_N(g)
DL_N(x₀)(f.g) = DL_N(x₀)(f).DL_N(x₀)(g)
DL_N(x₀)(f/g) = DL_N(x₀)(f)/DL_N(x₀)(g)
DL_N(x₀)(fog) = DL_Nf[DL_N(x)g]

Application à l'étude des positions dans le plan

Soit f une fonction définie sur [a, b] et x₀ appartenant à ]a, b[. On suppose que f est C^k_[a,b] avec k supérieur ou égale à 2

Position relative d la courbe de f: C_f

Supposons que T est la tangente à C_f au voisinage de x₀, l'équation de T est y_T=a₀+a₁(x-x₀).
La position de C_f par rapport à T sera donnée par le terme de la partie régulière de (1)

Si k est pair

Si k est impair

Les positions de (C_f) par rapport à T varient avec le signe de a_k(x-x₀)^k.

Exercice:

Montrez qu'on peut développer en série entière la fonction x→3^x

 

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Calcul des limites

Principaux développement en série entière de fonction classiques: au voisinage de x₀=0

x→e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + x^K/K! + ...

x→Cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ... + (-1)^px^2p/2p! + ...
x→Sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... + (-1)^p+1x^2p+1/(2P+1)! + ...

x→Ch(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! + ... + x^2P/2P! + ...
x-→Sh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! + ... + (-1)^P+1x^2P+1/(2P+1)! + ...

Ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ... + (-1)^P+1x^P/P + ...
Arct(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... + (-1)^P+1x^2P+1/(2P+1) + ...

Valeur approchées à 10^-P près

 

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Formule d'interpolation

Interpolation d'équation simple

Soient y₀, y₁, y₂, ... y_n les valeurs prises par une certaines fonctions y=f(x) lorsque x prend les valeurs respectives x₀, x₁, x₂, ... x_n équidistantes.
x₁-x₀=x₂-x₁=...=x_n-x_n-1=H constante
de plus y₁-y₀=D₀; Y₂-Y₁=D₁...; y_n-y_n-1=D_n-1
Alors si y et x sont tels que (x_i<x<x_i+1) et (y_i<y<y_i+1) on montre que:

Démonstration:

Donnons l'expression complète de y₀, y₁, ..., y_n en fonction de D_i
D₀=y₁-y₀; D₀²=D₁-D₀=(y₂-y₁)-(y₁-y₀)=y₂-2y₁+y₀
Remplaçons y₂ et y₀ par leur expression en fonction de y₀
D₁-D₀=y₂-2(y₀+D₀)+y₀
D₁-D₀=y₂-y₀-2D₀
y₂=(D₁-D₀)+y₀2D₀
y₂=D₀²+y₀+2D₀ (1)

Ecrivons x₁, x₂, ..., x_n eb fonction de H
x₁-x₀=H ; x₁=x₀+H
x₂-x₀=2H ; x₂=x₀+2H
x_n-x₀=nH ; x_n=x₀+nH
(2) H=x₁-x₀=(x₂-x₀)/2=...=(x_n-x₀)/n Sachant que 2=(x₂-x₀)/H
(1) devient Y₂=D₀² + y₀ + D₀(x₀-x₀)/H or d'après (2)
2=(x₂-x₀)/H ; 1=(x₂-x₀)/2H
de même x₁=x₂-H et 1=(x₁-x₀)/H et on a:
y₂ = y₀ + (x₂-x₀D₀/H + (x₂-x₀)(x₂-x₀-H)D₀²/2H²

Polynôme d'Interpolation de Lagrange

Etant donné (n+1) couple (a₀,;b₀), (a₁,b₁), ... (_n,b_n) tel que b₀=f(a₀), b₁=f(a₁),...b_n=f(a_n)
On désire trouver un polynôme P_k de degré k qui vérifie (E).
Le mathématicien Lagrange a montré qu'un tel polynôme existe et que k=n

Exercice:

Soit les couples A(0,2); B(-1,2) et C(1,4) déterminez le polynôme de Lagrange dont la courbe passe par A, B et C

Solution:

a₀=0 ; b₀=2
a₁=1 ; b₁=2
a₂=1 ; b₂=4
b₀(x-a₁)(x-a₂)/(a₀-a₁)(a₀-a₂) + b₁(x-a₀)(x-a₂)/(a₁-a₀)(a₁-a₂)
P₂(x) = x² + x + 2
P(0) = 2
P(-1) = 2
P(1) = 4

Polynôme de Lagrange: cas des fractions rationnelles

Soit T(x)=f(x)/g(x) avec degré f(x) < degré g(x)
Alors U₀, U₁, U₂, ..., U_n sont des racines simples de g(x) et si de plus