Consultez gratuitement nos différents cours

  • Sécurité des réseaux informatiques (Informatique Générale)

    Généralités L'envie de se faire connaître du grand public national et international devient monnaie courante chez les entreprises des pays en voie de développement. Les entreprises utilisent le réseau Internet comme média de communication pour résoudre ce problème crucial, mais ils sont régulièrement exposés aux attaques provenant de l'extérieur (pirates, arnaques, virus...). Il serait donc nécessaire de sécuriser le réseau et le système informatique. La suite de notre exposé portera sur...

    Lire la suite : Sécurité des réseaux informatiques

Transformation de FOURRIER discrète

Définition de la transformée de Fourrier des signaux numériques

 

x(k) → X(f)

X(f) est périodiques de période 1. En général c'est une fonction complexe de la variable f. f est une variable continue, f est une fréquence de moins l'infini à plus l'infini.
 La transformée de Fourrier de x(k) est notée:

17
 Et la relation inverse s'écrit:

18

Remarque:

Nous notons deux difficultés associées à cette définition.

  • La première difficulté est liée à la nature continue de la variable ƒ, ceci n'est pas commode dans un système de traitement numérique
  • Deuxième difficulté est liée au nombre infini d'échantillon, ce qui n'est pas le cas des signaux utilisés dans la réalité.

Proposition de solution: Il faut discrétiser la variable f et limiter le nombre d'échantillon.


Transformée de FOURRIER discrète

 

Description de la variable ƒ

Nous remplaçons la variable ƒ, par une autre variable ƒn.
Incrémentation : C'est une augmentation par pas ou par sont constant.
ƒn est appelé fréquence harmonique de la transformée de Fourrier discret comme X(ƒ) est période , il suffit d'utiliser une seule période. On peut diviser cette période en n incrémentations comme X(t) est périodique. Ce qui donne:

19

Conséquence de la discrétisation

Compte tenu du changement de variable, la transformée de FOURRIER inverse s'écrit:

 
 

20

Quelques propriétés de WNnk:

WNh+l = WNk+l=WNh-WNl (Séparabilité)
WNk+lw = WNk = WNk module N

Valeurs spatiales:

 
 

21

Transformée de FOURRIER discrète des signaux périodiques de période N

 

En ne considérant que la période allant de 0 à N-1

 
 

22

Transformée de FOURRIER à signaux réels : signaux à durée limitée

 
 

23

Remarque:

Si N est impair on prendra la valeur entière de N/2. X(n) est périodique de période N.

Démonstration:

 
 

24

Exercice 1:

Qu'elle est la transformée de FOURRIER du signal suivant:

 
 

x(k) = akε(k) avec a : réel
discutez de l'existence de la transformée en fonction de a.

Exercice 2:

Qu'elle est le signal donc la transformée de FOURRIER est x(f-f0) ou f0 est une constante.

 
 
 

26