Rappels mathématiques: notion d'analyse vectorielle
Notion de champ
Un champ est une application de Rn⟶Rn telle que à tout point de l'espace de dimension m on associe u vecteur de dimension n.
Exemple de champs classiques:
- Champ scalaire: potentiel, densité
- Champ vectoriel: pesanteur, vitesse champ électrique, champ magnétique
Opération d'analyse vectorielle
Ces opérations ne sont définies qu'en dimension 3
Le gradient
Soit Þ un champ scalaire de R3⟶R, le gradient est une application de l'espace des champs scalaires vers l'espace des champs scalaires vers l'espace des champs vectoriels.
Divergence
Dans cette relation V est un volume fermé et S la surface qui entoure le volume. On peut remarquer que la divergence n'est rien d'autre qu'un sortant d'un volume infinitésimal.
Le champ rotationnel
Le champ rotationnel est une application de l'ensemble des champs vectoriels vers lui-même.
La définition du rotationnel se fait composant par composant c'est-à-dire dans une direction donnée. Si cette direction est le vecteur orienté normal sur A la surface S orientée est donnée par cette relation:
Le rotationnel n'est rien d'autre que la circulation au tour d'une courbe fermée sur un point.
Le Laplacien scalaire
Le Laplacien scalaire est une application de l'ensemble des champs scalaires vers lui-même. Si V est un potentiel, le Laplacien de V se note:
Le Laplacien vectoriel
Le Laplacien vectoriel est une application de l'ensemble des champs vectoriels vers lui-même. Si A est un champ vectoriel:
Probatoire A-ABI 2021 Epreuve de littérature ou de culture générale