Parallélogramme
Construction
ABCD est un parallélogramme. La droite (L) est la perpendiculaire à (DC) passant par A, (L) coupe (DC) en H.
Construisez, à l'aide de la règle non graduée, la perpendiculaire à (AB) passant par C
ABCD est un parallélogramme de centre O
- Citez les sommets opposés de ce parallélogramme. Justifiez que les angles B et D ont même mesure
- Citez que les sommets consécutifs au sommet B. Justifiez que les angles B et C sont complémentaires
Solution
Le sommet A est opposé au sommet C le sommet B est opposé au sommet D ODA et OBC alors mesODC=mesOBA. Les angles ADC et ABC ont même mesure. Les angles D et B ont même mesure.
Propriété
Dans un parallélogramme:
- Les angles des sommets opposés ont même mesure
- Les angles de deux sommets consécutifs sont supplémentaires
Reconnaître un parallélogramme
ABCD est un quadrilatère tel que (AB)//(DC) et AB=DC.
Justifiez que ABCD est un parallélogramme
NB: On sait que dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur et leurs support sont parallèles
Solution
Considérons les triangles ABO et DOC
AB = D
AO = OC
BO = DO
Si un quadrilatère a deux côtés opposés de même longueur et de support parallèle alors c'est un parallélogramme.
Rectangle
ABCD est un parallélogramme tel que AB différent de AD
(AI) est la bissectrice de l'angle DAB.
(BK) est la bissectrice de l'angle ABC.
(CK) est la bissectrice de l'angle BCD.
(DI) est la bissectrice de l'angle CDA.
- Justifiez que le triangle DJC est rectangle.
- Quelle est la nature du quadrilatère IJKL?
- Justifiez votre réponse
Solution
ADC et BCD sont des angles consécutifs alors ces angles son supplémentaires.
Propriétés
Utiliser les longueurs des diagonales
(C) est un cercle O et de rayon 3cm. [AC] et [BD] sont deux diagonales perpendiculaires.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD
Les diagonales d'un rectangle ont même longueur.
Utiliser les axes de symétrie
ABCD est un rectangle, (L) est la médiatrice du côté [AB].
- Justifiez que (L) est l'axe de symétrie du triangle ABCD (AC) coupe (L) en E
- Justifiez que la droite (L') est perpendiculaire à (L) en E qui est l'axe de symétrie du rectangle ABCD
Solution
- Symétrie par rapport à (L)
A et B sont symétriques par rapport à (L)
D et C sont symétriques par rapport à (L)
[AD] et [BC] sont symétriques par rapport à (L) - Symétrie par rapport à (L').
A et D sont symétriques par rapport à (L')
B et C sont symétriques par rapport à (L')
[AB] et [DC] sont symétriques par rapport à (L)
Dans un rectangle, les médiatrices des côtés sont des axes de symétries
Reconnaître qu'un parallélogramme est un rectangle
Utiliser les angles
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Utiliser les diagonales
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle
Losange
Reconnaître qu'un quadrilatère est un losange Propriété
Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur alors c'est un losange
Reconnaître un parallélogramme losange
Utiliser les diagonales
Si les diagonales d'un parallélogramme ont des supports perpendiculaires alors c'est un losange
Utiliser les côtés
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Carré
[AC] et [BD] sont deux diamètres à supports perpendiculaires d'un cercle (C) de centre O. Justifiez que ABCD est un carré.
Un carré est à la fois un rectangle et un losange.