Une suite numérique est une application (U_n) définie de N→R par :

Convergence d'une suite

On dit qu'une suite (U_n)_b est convergente et converge vers L (L inférieur à l'infini),

La suite est dite divergente si:

Dès que

Opération sur les suites

On va supposer ci-après que deux suites (U_n)_n et (V_n)_n convergentes respectivement vers L et M.

 

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Conséquences

Somme

La suite (U_n+V_n)_n converge vers L+M.

Produit

La suite (U_n.V_n) converge vers LM.

Différence

La suite (U_n-V_n) converge vers L-M.

Quotient (avec M différent de 0)

La suite (U_n/v_n)_n converge vers L/M

Proposition

Si une suite admet une limite L (L inférieur à l'infinie) alors celle-ci est unique.

Exemple

Soit la suite (U_n)_n de terme général U_n=(-1)ⁿ

 

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Sens de variation

Sens de variation

Borne d'une suite

On dit qu'une suite (U_n)_n est basée sur un intervalle K si:

Exercice 1:

Donnez la nature des suites ci-après:

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Suites arithmétiques / Suites géométriques

Suites arithmétiques

Suite U₀, U₁, U₂ ... U_n telle que quelque soit k appartenant à R U_n=U₀+nk quelque soit n supérieur ou égale à 0
U_n = U_n-1 + k
k : est la raison de la suite.
U₀ : est son premier terme.

Somme partielle (SP)

Soit S_p = U₀ + U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_p-1
La somme de P premier termes de la suite (U_n)_n.
On montre que S_p = P/2[U_p-1+U₀]

Suites géométriques

C'est une suite V₀, V1, V₂, ..., V_N-1 telle que quelque soit q appartenant à R^* V_n=V₀q_N ↔ V_N=V_N-1q
q est la raison de la suite
V₀ est sont premier terme.

Somme partielle (SP)

Si V_p=V₀+V₁+V₂+...+V_p-1, on montre que S_p=V₀(1-q^p)/(1-q)

Exercice:

La suite (U_n)_n définie par U₀=0, U₁=1, U_n=7U_n-1++8U_n-2 quelque soit n supérieure à 2
Ecrire les 5 premier termes de cette suite.
Exercice:
On considère la suite g_N définie par g_N=U_N+U_N+1 écrire les 5 premiers termes de (G_N)_N
Montrez que (g_N)_N est une suite géométrique.

 

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Convergences

Soient (U_n)_n, (V_n)_n et (W_n)_n 3 suites numériques, vérifiant quel soit n appartenant à N V_n<U_n<W_n

Convergence forcée

Si pour tout entier n, la suite (W_n)_n est convergente, alors la suite (U_n)_n est convergente.

Divergence forcée

Si pour tout entier n, la suite (V_n)_n est divergente alors la suite (W_n)_n est divergente.

Exercice:

Etudions la nature des suites (U_n)_n et (V_n)_n de terme généraux:

Exercice:

Convergences simples absolues

Toute suite croissante et majoré (respectivement décroissante et minorée) sur un intervalle I est convergent sur I.

Critère de Cauchy

Une suite est dite de "Cauchy" si:

Proposition:

Toute suite de Cauchy est convergente.

Exercice:

La suite de terme général U_n=1-1/n est-elle une suite de Cauchy ?

Convergence absolue

Soit une suite alternée (prenant des valeurs positives et négatives)

Exercice:

Soit (V_n)_n une suite 1; -2/1!; 2²/2!; -2³/3!; 2⁴/4!

Théorème de dérivation des séries de fonctions

Soient f₀(x), f₁(x), f₂(x)... des fonctions définies et dérivables sur D, de dérivées respectives f'₀(x), f'₁(x), f'₂(x)...

Théorème d'intégration des séries de fonctions

Soient g₀(x), g₁(x), g₂(x), ... des fonctions définies et intégrable sur D, de primitive respectives sur [a,b]<D

Application

Calculez la somme de la série fonction
-2x² + 4x³ - 6x⁵ + 8x⁷ + ...

Résolution:

U_n(x) = (-1)ⁿ2n(x)^2n-1
Or U_n(x) est la dérivée de W_n(x)
Si W_n(x)=(-1)ⁿx²ⁿ
U₁(x) + U₂(x) + U₃(x) + ... = W'₁(x) + W₂(x) + W₃(x) + ...

 

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Série entière

On appelle sertie entière une série de la forme

où x est une variable et les cœfficients a_i ne dépendent pas de x (1) peut aussi s'écrire sur la forme

Rayon de convergence

On démontre que pour toute série entière il existe un nombre R(R>0) fini ou infini tel que la série est:

Le calcul d'un rayon de convergence d'une série entière se fait à partir des critères de convergence vu en cours.

Exemple:

Par le critère de d'Alembert, on a: