Suites arithmétiques / Suites géométriques
Suites arithmétiques
Suite U0, U1, U2 ... Un telle que quelque soit k appartenant à R Un=U0+nk quelque soit n supérieur ou égale à 0
Un = Un-1 + k
k : est la raison de la suite.
U0 : est son premier terme.
Somme partielle (SP)
Soit Sp = U0 + U1 + U2 + U3 + ... + Up-1
La somme de P premier termes de la suite (Un)n.
On montre que Sp = P/2[Up-1+U0]
Suites géométriques
C'est une suite V0, V
q est la raison de la suite
V0 est sont premier terme.
Somme partielle (SP)
Si Vp=V0+V1+V2+...+Vp-1, on montre que Sp=V0(1-qp)/(1-q)
Exercice:
La suite (Un)n définie par U0=0, U1=1, Un=7Un-1++8Un-2 quelque soit n supérieure à 2
Ecrire les 5 premier termes de cette suite.
Exercice:
On considère la suite gN définie par gN=UN+UN+1 écrire les 5 premiers termes de (GN)N
Montrez que (gN)N est une suite géométrique.
Convergences
Soient (Un)n, (Vn)n et (Wn)n 3 suites numériques, vérifiant quel soit n appartenant à N Vn<Un<Wn
Convergence forcée
Si pour tout entier n, la suite (Wn)n est convergente, alors la suite (Un)n est convergente.
Divergence forcée
Si pour tout entier n, la suite (Vn)n est divergente alors la suite (Wn)n est divergente.
Exercice:
Etudions la nature des suites (Un)n et (Vn)n de terme généraux:
Exercice:
- Ecrire le terme général de la suite (Wn)n
-1; 4; 9; 16; -25; 36; 49; 64; -81; 100; ... - Soit la suite (Wn) de terme général
Wn = 1 + 1/n! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! - Soit la suite de terme général an=Wn+1/n(n!)
Montrez que la suite (an)n est décroissante.
Convergences simples absolues
Toute suite croissante et majoré (respectivement décroissante et minorée) sur un intervalle I est convergent sur I.
Critère de Cauchy
Une suite est dite de "Cauchy" si:
Proposition:
Toute suite de Cauchy est convergente.
Exercice:
La suite de terme général Un=1-1/n est-elle une suite de Cauchy ?
Convergence absolue
Soit une suite alternée (prenant des valeurs positives et négatives)
Exercice:
Soit (Vn)n une suite 1; -2/1!; 22/2!; -23/3!; 24/4!
- Donner le terme général de cette suite.
- Montrez que (Vn)n est absolument convergente.
Théorème de dérivation des séries de fonctions
Soient f0(x), f1(x), f2(x)... des fonctions définies et dérivables sur D, de dérivées respectives f'0(x), f'1(x), f'2(x)...
Théorème d'intégration des séries de fonctions
Soient g0(x), g1(x), g2(x), ... des fonctions définies et intégrable sur D, de primitive respectives sur [a,b]<D
Application
Calculez la somme de la série fonction
-2x2 + 4x3 - 6x5 + 8x7 + ...
Résolution:
Un(x) = (-1)n2n(x)2n-1
Or Un(x) est la dérivée de Wn(x)
Si Wn(x)=(-1)nx2n
U1(x) + U2(x) + U3(x) + ... = W'1(x) + W2(x) + W3(x) + ...
Série entière
On appelle sertie entière une série de la forme
où x est une variable et les cœfficients ai ne dépendent pas de x (1) peut aussi s'écrire sur la forme
Rayon de convergence
On démontre que pour toute série entière il existe un nombre R(R>0) fini ou infini tel que la série est:
- Convergente si |x|<R
- Divergente si |x|>R
Le calcul d'un rayon de convergence d'une série entière se fait à partir des critères de convergence vu en cours.
Exemple:
Par le critère de d'Alembert, on a: