Equation différentielle d'ordre 1

On rappelle qu'une équation différentielle est une relation de la forme R[f⁽ⁿ⁾(x),f^(n-1)(x),...,f(x),x)]=0 (E), la résoudre consiste à trouver une ou plusieurs fonctions vérifiant (E) connaissant ou non une solution particulière de (E). Le plus haut degré de f^(N) est l'ordre de l'équation différentielle.

Forme générale

Une équation différentielle d'ordre 1 est de la forme y'=f(x, y) (E) est solution de la forme y=G (x: constante).

Equations différentielles séparables

Forme générale y'=f(x)g(y) (E₁) ou X₀(x)Y₀(y)dxX₁(x)Y₁(y)dy=0 (E₂)
Résolution de (E₂): On aura:

Exemple:

Trouvez la solution particulière de l'équation différentielle:

Equation différentielle homogène

Une fonction F(x, y) est homogène d'ordre N si:

Soit l'équation différentielle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 où P et Q sont des fonctions homogènes d'ordre N. On amènera (E) sous la forme Y'=f(y/x) et on effectue Y=Kx

Exemple:

Trouvez la solution générale de (x²2xy)dx+xydy=0 (E)
P(x,y)=x²+2xy , P(tx,ty)=t²x²+2t²xy=t²P(x,y)
Q(x,y)=xy ; Q(tx,ty)=(tx)(ty)=t²xy=t²P(x,y)
Posons y=Kx (où K et x sont des variables)
dy=Kdx+xdk
(E) : [x²+2x(kx)]dx+x(Kx)[Kdx+xdK]=0
[x²+2Kx²+K²x²]dx+Ks³dK=0
x²(1+2K+K²)dx+Kx³dK=0
(1+2K+K²)dx=-KxdK

 

Equation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire est une équation de la forme y'+a(x)y=c(x) (E)
On résout ce type d'équation en deux étapes.

1^ereétape:

On pose c(x)=0 ; y'++a(x)y=0 (E')
(E') est l'équation homogène associée à (E).

2²étape:

On utilise une solution particulière de (E'), laquelle est liée à une constante B, on résout alors (E) en considérant B comme une fonction B(x*

Exemple:

Résoudre xy'+2y=x³ (E)
xy'=2y=0

Exercice 1:

Résoudre l'équation homogène:

Exercice 2:

L'intensité I du courant électrique parcourant un circuit LR obéit à l'équation différentielle LdI/dt+RI=E où E est la f.e.m.
Calculez l'intensité I à l'instant après la mise sous tension (t=0) sachant que E=E₀coswt et I=0 lorsque (t=0)

Résolution:

A chercher:

 

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Equations différentielles d'ordre 2

Ce sont les équations différentielle de la forme (y",y',y,x)=0 donnant une solution générale R(y,x,c₁,c₂)=0 (ou de manière implicite y=f(x,c₁,c₂). Nous étudions 5 types d’équation différentielle.

1^ertype: y"=f(y,y')

Dans ce cas il faut faire le changement de variable. En effet (1)

Exemple:

Résoudre les équations différentielles suivantes:

Rappel:

Autres types : quelques indications

Equation linéaire (II) à coefficient constant

Ce sont des équations différentielles de la forme a₂y"+a₁y'+a₀y=f(x) (E) où a₂, a₁, a₀ sont constantes, deux cas de solutions de ce type d'équation différentielle:

Si aucune solution particulière n’est connue.

1^ièreétape: Résolution de l'équation différentielle homogène.
a₂y"+a₁y'+a₀y=0 (E') on pose y=e^rx
(E'): a₂r²e^rx+a₁re^rx+a₀e^rx=0
e^rs(a₂r²+a₁r+a₀)-0
Equation caractéristique (E,C)

Résolution de (E,C):

α₁ et α₂ alors (E') a pour solution y=C₁e^αx+C₂^αx

y = (C₁+C₂x)e^αx

α₁±βi complexe alors (E') a pour solution y=(C₁Cosβx+C₂Sinβx)e^αx

Exemple:

Résoudre y"-4y'+13y=0
r²e^rx-4re^rx+13e^rx=0
e^rx(r²-4r+13)=0

Solution:

y=e^2x[c₁sin3x+c₂cos3x]
y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)
2^eétape: Résolution de l'équation non homogène (E)
Supposons la solution de (E') de la forme c₁y₁(x)+c₂y₂(x), alors la variation des constantes se construit selon le système :
c₁ ⟶ c₁(x)
c₂ ⟶ c₂(x)
Et on résout le système:
c'₁(x)y₁(x)+c'₂(x)y₂(x)=0
[c'₁(x)y'₁(x)+c'₂(x)y'₂(x)=f(x)
Ce système nous permet de déterminer c₁(x) et c₂(x) et d'en déduire la valeur de la solution générale:
y=c₁(x)y₁(x)+c₂(x)y₂(x)

Exemple:

Résoudre y"-4y'+13y = 2x+1 (E)

Solution:

y=c₁e^2xsin(3x)+c₂e^2xcos3x

 

Equation différentielle linéaire à coefficient variable (2^eordre)

Ce sont des équations de l'une ou l'autre des formes suivantes:
(E₁) : a₂x²y"+a₁xy'+a₀y=f₁(x)
(E₂) : (ax+b)²y"+(ax+b)¹y'+a₀y=f₂(x)
Dans le cas (E₁) on effectue le changement de variable (1) : x=e^t
Dans le cas (E₂) ce sera (2) : ax+b=e^t

Relations remarquables

(1) : x=e^t avec t=ln(x) ; 1/x=e^-t

Remarque:

Exemple:

Résoudre x²y"-3xy'+4y=½x³

Problème:

 

Soit à étudier les oscillations d'un point matériel de masse m soumis à l'action d'une force élastique F_e dont la grandeur est proportionnelle à l'écart x du point par rapport à sa position d'équilibre en présence d'une force perturbatrice

E₀ = ESinγt

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