Généralités

Définitions

Vocabulaire

Une application linéaire de E vers F (E différent de F) est un homomorphisme de E vers F.
Si f_EF est une bijection de E vers F on dira f_EF est un Isomorphisme de E vers F.
Supposons f_EF application linéaire définie dans E₁ f est un endomorphisme dans E. Finalement un endomorphisme bijectif sera appelé un automorphisme.

Propriétés remarquables

Soit B_E une base de E.

Si f_EF est injective alors

f_EF n'est pas injective alors

 

---

Exercice d'application

---

Image et noyau d'une application linéaire

Soit f une application linéaire de E vers F, on définit les sous espaces suivants:

Images de f

Soit Im(f) le sous espace vectoriel de F définit de la façon suivante:

C'est l'ensemble des images obtenues par f

Caractéristiques de I_m(f)

Si f est injective, alors dim(Imf) = rangf < dimF
Si f n'est pas injective, alors dim(Imf) = rangf < dimF
Si F=E alors:

Noyau de f

Soit Ker(f) le sous espace vectoriel de E définit par:

C'est le noyau de f ("Ker(f)")

Caractéristiques de Ker(f)

Si f est injective alors dim(Ker(f)) = 0 alors Ker(f)={0_E}
Si f n'est pas injective dim(Ker(f)) appartient à l'intervalle [1;N]

Exercice 1:

Soit f un endomorphisme de E₂ vérifiant:

Solution

Exercice 2

Soit E₃ un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à sa base caractéristique:

Solution

Théorème de Laplace

Soit un système d'équation à K inconnues, posons R=rang(S)
La solution de (S) comportera (N-R) paramètre à choisir, paramètre inconnus.

Théorème de conservation de la trace

Soit M_B la matrice d'une application linéaire, f de E_N⟶H écrit dans une base B de E_N

On appelle trace de M_B la somme des termes situés sur le diagonale de M_B notation:

Propriété

Considérons une base de E_N, B'₁, B'₂,..., B'_N, alors les différentes matrices de f relativement à B'_i tr(M'₁)=tr(M'₂)=...tr(M'_m)

Application linéaire nilpotent d'ordre n

Une application linéaire f est dite "Nilpotente" s'il existe m>0.

 

---

Polynôme caractéristique, vecteurs propres

On se propose de déterminer la famille de vecteur non lu de E_N tek que:

Lorsque f est une application de E_N vers F

Polynôme caractéristique

Ecrivons l'équation (1) sous forme matricielle:

Sous espace propres de F

Valeurs propres

les valeurs de λ (λ≠0) vérifiant P_f(x)=0 sont appelées les valeurs propres de f

Vecteurs propres

Supplémentarité des sous espaces

Exercice:

Solution:

 

---

B^N=P^-1A^NP

Soit f une application linéaire de E vers F dont les matrices associées relativement à deux bases B et B' de E sot A_B(f) et B'_B(f) respectivement. Nous avons établi l'égalité B_B'(f)=P^-1A_B(f)P où P est la matrice de passage de base B à la base B'.
Supposons l'existence d'une application linéaire:

La matrice associée à S^N dans la base B étant H^N_B(S^N) , alors (1) et (2) donne B_B'(f)=P^-1H^N_B(S^N)P (3)
On peut poser W^N (S^N) la matrice de S^N dans la base B'.
L'égalité (3) devient W_B'^N=P^-1H_N^NP (2)

Exercice:

Soit E₄ un espace vectoriel de dimension 4 rapporté à sa base canonique:

Solution: