Géométrie métrique

Distance de 2 points

Soit deux points A(x_A; y_A; z_A), B(x_A; y_A; z_A) dans un repère orthonormé (o, i,j,k). La distance est:

Distance d'un point à une droite

D est une droite, H le projeté orthogonal de A sur D. AH se note d(A, D), c'est cette distance que nous devons calculer.
Soit un point du plan A(x_o; y_o) et (D) une droite d'équation cartésienne, on a:

Equation du cercle

Le plan (P) étant rapporté à un repère orthonormé, une équation cartésienne du cercle de centre r de coordonnée (a; b) et de rayon R vérifié par un point M(x;y) est la relation suivante
(x-a)²+(y-b)²=R²
x²+y²-2ax-2by+c=0
Avec R²=a²+b²-c

Exemple:

Ecrire une équation du cercle de centre r(1;2) de rayon R=4
a=1 ; b=2
x²+y²-2(1)x-2(2)y+c=0 ↔ x²+y²-2x-4y+c=0
R²=a²+b²+c ↔ c=a²+b²-R² = 1+4-16 = -11
x²+y²-2x-4y-11=0

Représentation paramétrique d'un cercle

Etant donné un cercle de centre r(a; b) et de rayon R. On appelle représentation paramétrique du cercle (C) dans le repère (o, i, j), le système suivant:

Equation cartésienne et représentation paramétrique d'un cercle

Equation d'un cercle de diamètre [AB]

Soit deux points A(x_A;y_A), B(x_B;y_B) du plan et (C) le cercle de diamètre AB. M appartient au cercle (C)

Tangente en un point d'un cercle

Soit le cercle (C) de centre r de coordonnée (a; b), la tangente (T) à (C) au point A(x₀;y₀) et M(x;y) un point du plan, on a:

Exercice:

Soit le cercle (C') d'équation x²+y²-x+2y-3=0 et le point A(1;4).
Déterminez une équation cartésienne de la tangente à (C) au point A.

Solution:

x²+y²-4x+2y-3=0
x²+y²-2ax-2by+c=0
-2ax=-4x ↔ -2a=-4 ↔ a=2
-2by=2y ↔ -2b=2 ↔ b=-1
c=-3
(x-1)(1-2)+(y-4)(4+1)=0 ↔ -(x-1)+5(y-4)=0
-x+1+5y-20=0 ↔ -x+5y-19=0