Complément de mathématique

Les nombres complexes

Insuffisance de IR

Dans R on ne peut pas trouver la racine carrée d'un nombre négatif, il existe donc un ensemble plus grand que R appelé ensemble des nombres complexes noté C qui permet d'extraire des racines des nombres négatifs. j est appelé opérateur complexe.

La propriété importante des nombres complexes:

• j² = -1
• j³ = j² x j = -j
• j⁴ = j² x j² = -1(-1) = 1

Définition des nombres complexes

Il existe 5 façons de représenter un nombre complexe mais on étudiera que 3 dans ce cours.

La forme algébrique

Quelque soit z appartenant à C; z=a+jb (a, b) appartient à R₂.

• a: partie réelle
• b: partie imaginaire

La forme trigonométrique

La forme polaire

Quelques propriétés

Soient z et z' deux nombres complexes z=a+jb et z'=a'+jb'

• z = 0 si et seulement si a = b = 0
• z + z' = a + jb + a' + jb'
  =a + a' + j(b + b')
  = A + jB avec A = a+ a' et B = b + b'
• z - z' = a + jb - (a' + jb')
  = a - a' + j(b - b')
  = A + jB avec A = a - a' et B = b - b'
• z.z' = (a + jb)(a' + jb')
  = aa' + jab' + ja'b + j²bb'
  = aa' - bb' + j(ab' + a'b)
  = A + jB avec A = aa' - bb' et B = ab' + a'b
• 

• 
• z = z' ↔ a = a' et b = b'

Conjugué d'un nombre complexe

On appelle conjugué d'un nombre complexe de coordonnée a+jb le nombre complexe z' tel que:

Exemple

Propriétés

Soient Z = a +jb et Z' = a' + jb'

Quelques formules trigonométriques

Propriétés

• Cos(-x) = Cosx
  Sin(-x) = Sinx
• Cos²x + Sin²x = 1
• tgx = Sinx/Cosx cotgx = Cosx/Sinx

Formules de transformations

• Cos(a+b) = CosaCosb - SinaSinb
• Cos(a-b) = CosaCosb + SinaSinb
• Sin(a+b) = SinaCosb + SinbCosa
• Sin(a-b) = SinaCosb - SinbCosa
• tg(a+b) = (tga+tgb)/(1-tga.tgb)
• tg(a-b) = (tga-tgb)/(1+tga.tgb)
• Cosp + Cosq = 2Cos(p/2+q/2)Cos(p/2-q/2)
• Cosp - Cosq = -2sin(p/2 + q/2)Sin(p/2 - q/2)
• Sin + Sinq = 2Sin(p/2 + q/2)Cos(p/2-q/2)
• Sinp - sinq = 2sin(p/2-q/2)Cos(p/2+q/2)

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