Alignement des points

Soient deux points A et B, pour démontrer qu'un point G appartient à (AB), il faut trouver des nombres réels tels que G soit le barycentre de 2 points pondérés.

On déduit que le point O est le barycentre des points pondérés (N, 4) (B, 2).

Conclusion:

Les points B, O et N sont alignés.

 

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Concours des droites

Soient les points A, B, C, D, E, F... pour montrer que les droites (AB), (CD), (EF)... sont con,courantes, il suffit de démontrer qu'il existe un point P qui appartient à chacune de ces droites.

Les droites (AP), (BN) et (CM) sont concourantes si et seulement si le barycentre O des points pondérés (A, 1); (B, 2) et (C, 3) appartient à chacune d'elle. D'après l'exemple précédent chacun des points M, N, P est le barycentre partiel de (A,1); (B,2) et (C,3) d'où O est le barycentre de (M,3); (C,3) de (N,4) et (B,2) et enfin le barycentre de (A,1); (P,5)

Conclusion:

O appartient à chacun des droites (AP); (BN), (CN)

 

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Les lignes de niveau

Etant donné une application f du plan P dans R et K un nombre réel. On appelle ligne de niveau K de f l'ensemble des points donc l'image par f est K.

 

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Détermination des lignes de niveau A. Ligne de niveau de l'application M→AM.AB

Etant donné deux points A et B du plan et f l'application de P dans R qui à tout point M associe AM.AB. La ligne de niveau (L_K) est l'ensemble des points M du plan tel que f(M)=K c'est-à-dire AM.AB=K.

Exemple 1:

On donne AB=3 ; K=3
Calculez la ligne de niveau (L-3)

Exemple 2:

AB=2 ; K=5 Déterminez la ligne de niveau (L5)

Exemple 3:

AB=4 ; K=0 H est un point tel que AH=0. H se confond donc avec le point A. Les vecteurs AM et AB sont orthogonaux

Ligne de niveau de l'application M→MA²+MB²

Soit deux points A et B du plan et un nombre réel K la ligne de niveau (L_K) est l'ensemble de solution de l'équation d'inconnue M

Exemple:

On donne AB=3 ; K=5. Déterminez la ligne de niveau (L₅)

Ligne de niveau de l'application M→MA.MB

Etant donné 2 points AB et un nombre réel K, la ligne de niveau (L_K) est l'ensemble de solution de l'équation d'inconnue K

Les lignes de niveau de l'application M→MA²-MB²

Soient 2 points A, B du plan et un nombre réel K, la ligne de niveau (L_K) est l'ensemble de solution de l'équation d'inconnue MA²-MB²=K

Exemple:

On donne AB=5 ; K=10. Déterminez la ligne de niveau (L₁₀)