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Champ de vecteurs

On appelle champ vectoriel un espace ou une portion d'espace où l'on peut définir en tout point un vecteur fonction de ce point. Si a(M) est le vecteur caractéristique du champ alors ce vecteur est fonction du point M. Ainsi on observe un vecteur dans lequel une charge électrique est soumise à une force électrique et on parle de champ électrique E(M).

Gradian d'une fonction scalaire

Soit ƒ(M) une fonction du point M appelle gradian de f que l'on note gradƒ, le vecteur défini par:

Divergence d'un champ de vecteur

On appelle divergence de a(M) le scalaire obtenu en faisant la somme des dérivées des composantes, suivant les axes par rapport aux variables correspondantes.

Rotationnel d'un champ de vecteur

On appelle rotationnel du point A, le vecteur donc les composantes cartésiennes ont pour expression respective

Appelons Nabla le pseudo vecteur ou vecteur symbolique donné par:

Opérateur Laplacien

On appelle Laplacien d'une fonction scalaire f(x, y, z), le scalaire donné par:

Ainsi, la divergence du gradian de f

Le Laplacien d'un champ vecteur quant à lui est tel que pour

Flux d'un champ de vecteur

Considérons une surface S et un point M appartenant à (S), sur cette surface on délimite au tour de M un élément de surface ds.

On appelle flux élément du vecteur a à travers ds le scalaire

n est la normale positive en M à la surface (S)
Le flux total à travers la surface (S) est donc

Flux conservatif: théorème de GREEN OSTROGRADSKI

On montre que pour tout vecteur à flux conservatif le flux à travers toute surface fermée est nul. Pour obtenir la condition pour qu'un champ vecteur soit à flux conservatif, on utilise le théorème de GREEN OSTROGRADSKI.

Théorème:

Le flux d'un champ vecteur à travers une surface fermée est égal à l'intégrale de ce champ vecteur étendu au volume intérieur à la surface.

Circulation d'un champ de vecteur

Soit dans un champ vecteur un arc de courbe donc les extrémités sont A et B. Soit a(M) le vecteur du champ en un point M. On appelle circulation élémentaire de A le scalaire

La circulation dépend généralement du chemin suivi pour aller d'un point à un autre. Cependant dans certains cas la circulation d'un vecteur entre 2 points donnés ne dépend que de la position de ces points et non du chemin suivi. La circulation du vecteur est en ces conditions nulle pour tous les vecteurs fermés. On dit que le champ vecteur dérive d'un potentiel.
Supposons que le vecteur a dérive d'un potentiel. Sa circulation entre un point M.

Théorème de STOKES:

La circulation d'un vecteur le long d'une courbe fermée est égale au flux du rotationnel de ce vecteur à travers toute surface.

C'est la condition nécessaire et suffisante pour que a dérive d'un potentiel.

Lignes de vecteurs

On appelle ligne de vecteur ou ligne de champ, une courbe tangente dans chacun de ses points au vecteur caractéristique du champ.

On obtient l'équation ds lignes de champ en écrivant qu'un déplacement élémentaire dl=MM' effectué à partir d'un point M sur la ligne de champ et parallèle au vecteur de ce champ.

Tube de vecteurs

C'est l'ensemble de ligne de vecteur qui s'appuie sur une courbe fermée.