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Etude des variations et représentation graphique d'une fonction numérique - Position de la courbe par rapport à l'asymptote

Index de l'article


 


Position de la courbe par rapport à l'asymptote

Pour déterminer la position de la courbe par rapport à l'Asymptote oblique, on étudie le signe de f(x)-y.
Si dans un intervalle donné f(x)-y est négatif, la courbe est au-dessous de l'asymptote.
Si dans un intervalle f(x)-y est positif, la courbe est au-dessus de l'asymptote

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Représentation graphique

Elle se fait dans un repère orthonormé suivant une unité de longueur précise ou non.


La construction des asymptotes

On trace toutes les asymptotes que la courbe présente si possibles.

 


Les extremums

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, f présente un extremum au point d'abscisse xo appartient à I si et seulement si f'(x) s'annule en xo et change de signe Un extremum est un maximum ou un minimum.
La courbe de f présente un maximum en xo si et seulement si quelque soit x appartenant à f(x) est inférieure ou égale à f(xo)

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La courbe de f admet un minimum en xo si et seulement si f(x) est supérieure ou égale à f(xo)

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Equation de la tangente

Soit xo l'abscisse d'un point Mo de la courbe d'une fonction. L'équation au point M0 est y=f(xo)+f'(xo)(x-xo)

Exemple:

Soit f(x) = 2x2 + x -1 et x0 = 1
Déterminez l'équation de la tangente au point x0=1
y = f(1) + f'(1)(x-1)
f(1) = 2(1)2+ + (1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2
y = 2 + 5(x-1) = 2 + 5x - 5
y = 5x - 3

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Plan d'étude d'une fonction

L'étude d'une fonction jusqu'à la représentation graphique se résume aux points suivants:

  • Le domaine de définition
  • Le calcul des limites aux bornes du domaine
  • L'étude de la continuité et de la dérivabilité
  • Le calcul de la dérivée et son étude de signe
  • Le récapitulatif dans un tableau de variation
  • La détermination des asymptotes
  • La détermination des points remarquables: les extremums, les points d'intersection de la courbe avec les axes, le tableau de valeur
  • Me tracé de la courbe