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Etude des variations et représentation graphique d'une fonction numérique - Centre de symétrie et axe de symétrique d'une courbe

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Centre de symétrie et axe de symétrique d'une courbe

Généralités

Soit M(x; y) un point de la courbe Cf de la fonction f. Soit A(a; b) un point quelconque du plan rapporté à un repère orthonormé (o,i,j). Si M a pour coordonnée (X,Y) dans le nouveau repère (A,i,j), on a:
x = a + X
y = b + Y
Dans la relation y=f(x), on remplace y par b+y et x par a+X pour obtenir b+Y=f(a+X) ; Y=f(a+X)-b, cette nouvelle égalité détermine une nouvelle fonction g dans le nouveau repère (A,i,j) où Y=g(X) ; g(X)=f(a+X)-b

Théorèmes:

Si la nouvelle fonction e est impaire c'est-à-dire quelque soit x appartenant à Dg -X appartenant à Dg et g(-X)=-g(X) alors le point A(a;b) est un centre de symétrie de la courbe Cf
Si la nouvelle fonction g est paire c'est-à-dire quelque soit x appartenant à Dg -X appartient à Dg , g(-X)=g(X) alors la droite d'équation x=a est un axe de symétrie de la courbe Cf.

 


Exemple 1

Montrer que A(0;1) est un centre de symétrique de la courbe de la fonction f définie part f(x)=x3+1
f(x) = x3 + 1 ;  A(0;1)
x = 0 + X
y = 1 + Y
y = f(x) ↔ 1 + Y = f(X)
↔ 1 + Y = X3 + 1 ↔ Y = X3
↔ g(X) = X3
g(-X) = (-X)3 = -X3 = -g(X)
g(-X) = -g(X) alors g est impaire et A(0;1) est un centre de symétrie à la courbe.

 


Exemple 2

Montrez que la courbe de la fonction f(x)=x2-5x+4 admet un axe de symétrie au point A(5/2;-9/4)
f(x) = x2 - 5x + 4 et A(5/2;-9/4)
x = 5/2 + X
y = -9/4 + y
y = f(x) ↔ -9/4 + Y = f(5/2+X)
↔ -9/4 + Y = (5/2+X)2 - 5(5/2+X) + 4
↔ Y = X2 - 25/2 + 9/4 + 25/4 + 4 ↔ Y = X2
↔ g(X) = X2
g(-X)=(-X)2=X2=g(X) ↔ g(-X)=g(X) alors g est paire et la droite x=5/2 est l'axe de symétrie pour la courbe.