Centre de symétrie et axe de symétrique d'une courbe

Généralités

Soit M(x; y) un point de la courbe C_f de la fonction f. Soit A(a; b) un point quelconque du plan rapporté à un repère orthonormé (o,i,j). Si M a pour coordonnée (X,Y) dans le nouveau repère (A,i,j), on a:
x = a + X
y = b + Y
Dans la relation y=f(x), on remplace y par b+y et x par a+X pour obtenir b+Y=f(a+X) ; Y=f(a+X)-b, cette nouvelle égalité détermine une nouvelle fonction g dans le nouveau repère (A,i,j) où Y=g(X) ; g(X)=f(a+X)-b

Théorèmes:

Si la nouvelle fonction e est impaire c'est-à-dire quelque soit x appartenant à D_g -X appartenant à D_g et g(-X)=-g(X) alors le point A(a;b) est un centre de symétrie de la courbe C_f
Si la nouvelle fonction g est paire c'est-à-dire quelque soit x appartenant à D_g -X appartient à D_g , g(-X)=g(X) alors la droite d'équation x=a est un axe de symétrie de la courbe C_f.

Exemple 1

Montrer que A(0;1) est un centre de symétrique de la courbe de la fonction f définie part f(x)=x³+1
f(x) = x³ + 1 ;  A(0;1)
x = 0 + X
y = 1 + Y
y = f(x) ↔ 1 + Y = f(X)
↔ 1 + Y = X³ + 1 ↔ Y = X³
↔ g(X) = X³
g(-X) = (-X)³ = -X³ = -g(X)
g(-X) = -g(X) alors g est impaire et A(0;1) est un centre de symétrie à la courbe.

Exemple 2

Montrez que la courbe de la fonction f(x)=x²-5x+4 admet un axe de symétrie au point A(5/2;-9/4)
f(x) = x² - 5x + 4 et A(5/2;-9/4)
x = 5/2 + X
y = -9/4 + y
y = f(x) ↔ -9/4 + Y = f(5/2+X)
↔ -9/4 + Y = (5/2+X)² - 5(5/2+X) + 4
↔ Y = X² - 25/2 + 9/4 + 25/4 + 4 ↔ Y = X²
↔ g(X) = X²
g(-X)=(-X)²=X²=g(X) ↔ g(-X)=g(X) alors g est paire et la droite x=5/2 est l'axe de symétrie pour la courbe.