Définitions et généralités

Dans les réseaux, le problème qui se pose est le suivant:

 

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Lois de KIRCHOFF

Il en existe deux, celle relative aux noeuds et celle relatives aux maille.

Loi relative aux noeuds

Considérons un noeud A où passent des courants d'intensité i₁, i₂, i₃, i₄ et i₅

On a alors i₁+i₂=i₃+i₄+i₅
Ainsi les différents courants entrant et sortant en un noeud sont liais par la relation
Somme de courants entrants = somme de courants sortants.

Loi relative aux mailles

La loi d'Ohm généralisée est valable ici et s'écrit

En prenant un circuit fermé A B on a:

La loi KIRCHOFF relative aux mailles s'écrit alors

Utilisation des lois de KIRCHOFF

Pour utiliser les lois de KIRSHOFF on procède de la manière suivante:

 

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Les valeurs positives signifient que le courant circule effectivement dans le sens choisi, s'il y'a pas de récepteur non polarisé, des valeurs négatives signifient que le courant circule dans le sens opposé.
Enfin s'il y'a des récepteurs non polarisés et si l'on trouve dans une branche contenant un tel récepteur une intensité négative, il faut recommencer les calculs en inversant le sens de cette intensité. Le récepteur non polarisé s'opposant toujours à l'intensité.
Si en fin de calcul on trouve dans cette branche une intensité positive tout va bien.
Si on trouve encore une intensité négative, cela signifie que la ddp aux bornes du récepteur est insuffisante pour faire fonctionner celui-ci: aucun courant ne traverse dans la branche et on peut le supprimer.
Le calcul est terminé lorsque toutes les intensités sont positives dans toutes les branches contenant des récepteurs non polarisés.

 

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Exemple

Nous nous proposons d'appliquer les lois de KIRSHOFF au réseau suivant:

 

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Méthode des courants des mailles

Principe

Il ne s'agit pas d'une nouvelle méthode mais d'un moyen systématique de contourner certaines difficultés rencontrées dans la méthode de Kirchhoff. Précisons en particulier que ce moyen rend de précieux services lorsque le réseau présente un grand nombre de maille. La méthode réside dans un chargement de variable.

Exemple

On considère le circuit suivant dont on se propos de calculer les intensités dans les différentes branches par la méthode des mailles fictives.

On considère le circuit suivant

Loi des noeuds:

noeud A: I=I₁+I₂
noeud B: I=I₄+I₅
noeud C: I₂=I₄+I₃
noeud D: I₅=I₁+I₃

Loi des mailles

maille (1):
-30 + 2J₁ + 3(J₁-J₂) + 20(J₁-J₃) + 8 = 0
25J₁ - 3J₂ - 20J₃ = 22

maille (2):
20J₂ + 6 - 2 + 4(J₂-J₃ + 3(J₂-J₁) = 0
-3J₁ + 27J₂ - 4J₃ = -4

maille (3):
4J₃ - 8 + 20(J₃-J₁) + 4(J₃-J₂) + 2 =0
-20J₁ - 4J₂ + 28J₃ = 6

 

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Théorèmes de Thevenin et de Norton

Les théorèmes de Thevenin et de Norton permettent de modifier des portions de circuits afin de calculer les intensités et les tensions dans des branches déterminées.

Théorème de Thevenin

Un dipôle actif est équivalent vu de ses deux bornes à un générateur de tension, donc:

Ce générateur équivalent est dit générateur de Thevenin.

On a V_A-V_B=U₀-R_iI
Ainsi on note Eth la f.e.m du générateur de Thevenin et Rth sa résistance interne telle que E_th=U₀, R_th=R_i

Exemple:

Nous nous proposons de calculer au moyen du théorème de Thevenin l'intensité traversant le dipôle (E₁, R1). Il nous faut donc modifier le dipôle A₁E₂B₁

V_A-V_B=RI₂=E₂-R₂I₂=U₀
I₂=U₀/R ; Eth=R.E₂/(R+R₂)
1/R_th=1/R+1/R₂ ; Rth=R.R₂/(R+R₂)

Théorème de Norton

Ce théorème nous donne une autre modélisation d'un dipôle actif. Schématisons à nouveau le dipôle actif par un générateur de Thevenin, puis établissons un court-circuit entre les bornes A et B

Le dipôle est traversé par un courant d'intensité I₀ tel que I₀=U₀/R_i.
Or V_A-V_B=U₀-R_iI=U₀-(V_A-V_B)
I=U₀/R_i-(V_A-V_B)/R_i
I=I₀-(V_A-V_B)/R_i

Théorème:

Un dipôle est équivalent, vu de ses deux bornes à un générateur de courant donc:

Application du théorème de Thevenin pour le calcul de la tension dans une branche

On considère le réseau suivant en nous proposant de calculer la différence de potentielle entre le point A et B.

On supprime la dite branche et on écrit:

V_A-V_D=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)+(V_B-V_D)=3i-4i₁+8+20i₂
Déterminons i, i₁ et i₂
(1): -30+2I₁+3I₁+20(I₁-I₂)+8=0 ↔ 25I₁-20I₂=22
(2): 4I₂ +2+4I₂-8+20(I₂-I₁)=0 ↔ -20I₁+28I₂=6
I₁=2,45A ; I₂=1,96A
i=I₁=2,45A
i₁=I₂=1,96A
i₂=i-i₁=2,45-1,96=0,48A
V_A-V_D=3x2,45-4x1,96+20x0,48+8
V_A-V_B=17,11V

Théorème de Milmann

Principe

Considérons la portion de circuit suivante:

Au noeud M on peut écrire I₁+I₂+I₃+I₄=0
or V_A-V_M=R₁I₁
V_B-V_N=R₂I₂
V_C-V_M=R₃I₃
V_D-V_M=R₄I₄

Théorème

Soit un certain nombre de branche se rejoignant au point M.
Soit R_i les résistances de chacun de ces branches et V_i le potentiel à l'extrémité de chaque branche. On peut écrire:

Exemple

On considère à nouveau le circuit suivant:

On peut écrire au noeud A

En prenant comme origine potentielle V_B=0

 

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Transformation de KENELLY

Lorsqu'on fait l'étude d'un réseau électrique, il est souvent nécessaire de remplacer trois résistances branchées en triangle par trois résistances branchées en étoile et choisir de telle sorte que les deux montages soient équivalent, c'est-à-dire que le fonctionnement du reste du réseau ne soit pas perturbé par la substitution. La transformation inverse est quelquefois intéressante.

Passage du triangle à l'étoile

Supposons que l'on coupe la connexion du réseau des résistances avec le reste du réseau dans C.

Passage de l'étoile au triangle

Il suffit d'extraire les expressions de R₁, R₂, R₃ des relations générales précédentes. Pour cela calculons les expressions r₁r₂+r₂r₃+r₃r₁