Transformation dans l'approximation de Kapp

Conventions: Rappels

Il y'a deux possibilités d'orientation.

Orientation récepteur

Nous choisissons U=V_A-V_B et nous orientons le conducteur de A vers B. A un instant déterminé de deux choses l'une où U et I seront de même signe alors le courant entre dans le pôle positif et le dipôle sera récepteur, où U et I seront de signe différent, le courant sortira dans le pôle positif et le dipôle sera générateur.

Orientation générateur

Nous choisissons U=V_A-V_B puis nous orientons le conducteur de A vers B à un instant déterminé.
U et I seront de même signe et le courant sortira par le pôle positif et le dipôle sera exactement un générateur ou bien U et I seront de signe contraire : le courant entrera par le pôle positif et le dipôle sera un récepteur.

Choix pour le transformateur

Constitué de deux enroulements électriquement séparés, chacun doit être traité comme un dipôle avec ses conventions propres.

Orientation des conducteurs

Nous choisissons arbitrairement un sens positif pour le flux Ø puis on oriente les conducteurs du primaire et du secondaire afin qu'un courant de flux produise un flux positif sens lié par la règle du tir bouchon). L'état magnétique du circuit sera déterminé par la somme algébrique des f.e.m du primaire et du secondaire.

Orientation pour les tensions

Nous allons choisir pour chaque partie du transformateur la conversion qui correspond à son fonctionnement naturel. La convention réceptrice pour le primaire puisse que celui-ci reçoit la puissance d'une source extérieure et la convention générateur pour le secondaire par ce qu'il fournit de la puissance à une charge.

Propriétés

Hypothèses

L'approximation de Kapp consiste à négliger le courant aux pertes dans le fer et le courant magnétisant. En conséquence I_1V=0. On a donc en charge N₁i₁+N₂i₂.
N₁ est le nombre de spire au primaire et N₂ est le nombre de tour au secondaire. Ce qui permet d'avoir:
N₁i₁=-N₂i₂ ↔ N₁I₁+N₂I₂=0
-N₂/N₁ = i₁/i₂ ; I₁=-I₂
A tout instant, les courants sont avec nos conventions en opposition de phase et leur rapport est indépendant de la charge.

Schéma équivalent

Relations

Au primaire:
(3) -U₁+R₁I₁+jX₁I₁-E₁=0 ↔ U₁=-E₁+R₁I₁+jX₁I₁

Au secondaire:
(4) -E₂+jX₂I₂+R₂I₂+U₂=0 ↔ U₂=E₂-jX₂I₂-R₂I₂

Pour les raisons ci-dessous, le transformateur n'a que deux bornes, il est donc possible de déterminer les paramètres d'un dipôle équivalent, qui soumis à la même tension complexe U₁ consommerait le même courant I₁.

De l'équation (4), on donne U₂=E₂-jX₂I₂-R₂I₂. Or m=U₂/U₁. Si nous divisons chaque élément de l'équation par m: U₂/m=E₂/m-jX₂I₂/m-R₂I₂/m et tout en sachant que I₂=-I₁/m, on a: U₂/m=E₂/m+jX₂I₁/m²+R₂I₁/m². Or I₁ et I₂ n'ont pas le même sens.
U₂/m = E₂/m + jX₂I₁/m² + R₂I₁/m₂
U₁ = -E₁ + jX₁I₁ + R₁I₁
U₁ + U₂/m = -E₁ + E₂/m + j(X₁I₁ + X₁I₁/m²) + R₁I₁ + R₂I₁/m²
U₁ + U₂/m = E₁ + E₂/m + j(X₁ + X₂/m²)I₁ + (R₁ + R₂/m)I₁
2U₁ = [(R₁ + R₂/m²) + j(X₁ + X₂/m²)]I₁
(5) R_p = R₁ + R₂/m²
(6) X_p = X₁ + X₂/m₂
R_p la résistance totale ramenée du primaire et X_p la résistance totale de fuite réduite au primaire.
Si nous supposons qu'il existe une charge Z au secondaire, cette charge consomme un courant I2 sous une tension U₂. A ces trois grandeurs correspondent au primaire

Z_p = Z/m² et I_{1 = -m.I2
Zp.I1 = Z/m}²<sub>(-m.I2)

ZpI1 = -Z.I2/m = -U2/m
Zp.I1 = -U2/m = -U1 = U'2</sub>

C'est le tension qu'il faudrait appliquer au primaire s'il y'avait pas de chute de tension.

Relation finale

La tension primaire est égale à la somme de la tension utile de la charge réduite au primaire plus la chute de tension interne:
(7) U₁ = U'₂+ R_pI₁ + jX_pI₁
De la chute de tension (R_p + X_p)I₁
L'impédance interne du transformateur réduite au primaire est
(8) Z_p=R_p+jX_p
D'où le schéma équivalent suivant.

Pour le réseau

Pour le réseau, l'impédance interne Z_p est en série Z'

Pour la charge

Pour la charge réduite au primaire le transformateur est équivalent à un générateur Z_p. Pour charge inductive on a le diagramme de Fresnel suivant.