Dérivées partielles
Considérons un champ scalaire ou une fonction à 3 variables coordonnées d'un point de l'espace.
µ: M(x, y, z) → µ(M) = µ(x, y, z)
En fixant 2 variables, par exemple:
y = y0 = constante
z = z0 = constante
On obtient une fonction à une variable x. Si cette fonction à une variable est dérivable alors sa dérivée est encore la dérivée partielle de µ par rapport à la variable x. On écrit :
Exercices
Exercice 1:
Trouvez V la fonction x et y telle que:
Exercice 2:
Différentielle: Opérateur gradient
Considérons une fonction définie sur une partie ouverte non vide de R3 µ:r→R
La différentielle de µ au point M0(x0,y0,z0) est la variation de µ lorsque M0 passe de M0 avec:
Opérateur Nabla
Gradient:
Le gradient de U est le champ de vecteur
Plan tangent à une surface
Considérons la surface d'équation U(x, y, z)=c où c=constante.
Soit M0(x0, y0, z0) un point de cette surface. Le plan tangent à la surface ci-dessus au point M0 est le plan passant par M0 du vecteur normal.
Dérivée dans une direction
Propriétés des différentielles
u et v sont deux fonctions scalaires: