Généralités

Ensemble de définition

Soit f une fonction de E → F, on appelle ensemble de définition de f noté D_f l'ensemble constituant les éléments de E qui ont une image dans F.

Exemple:

Calcul le domaine de définition de la fonction suivante:

Le domaine de définition d'une fonction se donne nécessairement sous forme d'intervalle et de réunion d'intervalle.

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Ensemble le de définition des fonctions usuelles

Fonction polynôme

Ce sont des fonctions du type f(x)=a_px^p+a_p-1x^p-1+...+a₀

Théorème:

Toute fonction polynôme f a pour ensemble de définition D_f=IR=]-∞; ∞+ [

Fonction homographique

Ce sont des fonctions du type:

Une fonction homographique est un cas particulier de fonction rationnelle.

Cas des fonctions rationnelles

Ce sont des fonctions de la forme h(x)=h(x)/g(x).
f(x) et g(x) étant des fonctions polynômes
D_h={x appartenant à R / g(x) différent de 0}

Fonctions irrationnelles

Ce sont des fonctions de la forme suivante:

 

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Parité et périodicité

Parité des fonctions

Une fonctions est dite paire si et seulement si

Une fonction est dite impaire si et seulement si

Périodicité

Une fonction f définie sur un intervalle I est périodique s'il existe un nombre réel positif T tel que

 

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Limite d'une droite

On dit qu'une fonction f a pour limite, le réel l quand x→ x₀. Si les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi de l que l'on veut en approchant x et x₀ et on note
lim f(x)=l
x→x₀

Exemple:

Calculer la limite de la fonction f(x)=7x-2 ; x₀=2

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Unicité de la limite

Théorème:

La limite d'une fonction en un point lorsqu'elle existe est unique.

 

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Limite à gauche; limite à droite

Théorème:

Une fonction f admet une limite au point x_o si et seulement si
lim f(x) = lim f(x)
x → x^-_o x → x⁺_o

 

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limite en plus l'infinie ou moins l'infinie

f(x) = 1/x

Quand x devient infiniment très grand 1/x devient très petit en se rapprochant de 0, on a alors

Fonction constante

Si f est une fonction constante f(x)=C, C appartient à R

Théorème:

La limite d'une fonction rationnelle à "moins l'infini" ou à "plus l'infini" est égale à la limite du rapport des monômes de plus haut degré.

 

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Limite infinie en x_o

 

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Limite infinie à "plus l'infinie" ou à "moins l'infinie"

Théorème:

La limite d'une fonction polynôme, lorsque x tant vers plus ou moins l'infinie est égale à la limite du monôme du plus haut degré.

 

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Limite d'une somme d'un produit et d'un rapport de fonction

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Les formes indéterminées

Ce sont des formes qui ne demandent pas une conclusion directe et où il faut préalablement lever l'indétermination. On distingue comme forme indéterminée:

 

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Continuité d'une fonction

Soit x_o appartenant à R, soit f une fonction de R→R, f est dite continue au point x_o si et seulement si x_o appartient à D_f et
lim f(x) = f(x_o)
x → x_o

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Continuité à gauche ; continuité à droite

Remarque:

f est continue en x_o si et seulement si
lim f(x) = lim f(x)
x → x^-_o x → x⁺_o

 

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Opération sur les fonctions continues

Soit x_o appartient à IR f:IR → IR et g:IR → IR

 

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Prolongement par continuité d'une fonction

Considérons une fonction f définie sur D. La fonction f est définie sur un intervalle de centre x_o mais pas en x_o mais en x_o et admet une limite en x_o. Soit la fonction g telle que:

Cette fonction g est continue en x_o car
lim g(x) = g(x_o)
x → x_o
Prolongement de f par continuité en x_o

 

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Dérivabilité d'une fonction

Soit x_o appartenant à R, soit f:R → R, f est dérivable en x_o si et seulement si

Remarque:

Cette limite l=f'(x_o) est appelée nombre dérivée.

Théorème:

Toute fonction dérivable en un point x_o est continue en x_o. Mais la réciproque n'est pas toujours vérifiée.

 

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Dérivabilité à gauche ; dérivabilité à droite

Théorème:

f est dérivable au point x_o si et seulement si f est dérivable à gauche de x_o et dérivable à droite de x_o

 

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Dérivabilité sur un intervalle

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I

Théorème:

Toute fonction polynôme est dérivable sur R.
Toute fonction rationnelle est dérivable dans son ensemble de définition.

 

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Fonctions dérivables usuelles

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Opération sur les fonctions dérivées